Как найти определитель матрицы

Что измеряет определитель

У каждой квадратной матрицы есть определитель, обозначаемый $\det(A)$ или $|A|$. У неквадратных матриц его нет. Определитель сразу отвечает на ключевой вопрос: квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю. Нулевой определитель означает, что матрица сжимает пространство до меньшей размерности, так что часть информации безвозвратно теряется.

Геометрически модуль определителя — это коэффициент, во сколько раз матрица увеличивает площади в двумерном случае или объёмы в трёхмерном. Знак показывает, сохраняет ли отображение ориентацию или меняет её, как зеркало, меняющее местами левое и правое.

Формула для матриц 2 на 2

Для матрицы $2 \times 2$ перемножьте элементы главной диагонали и вычтите произведение элементов побочной диагонали:

Здесь толкование через площадь видно легко. Столбцы $(3, 1)$ и $(1, 2)$ матрицы $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ задают параллелограмм площадью $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, и это в точности определитель.

Разложение Лапласа для матриц 3 на 3

Для больших матриц разложение Лапласа сводит задачу к определителям меньшего порядка. Выберите строку, например первую. Для каждого её элемента вычеркните его строку и столбец, чтобы получить меньшую матрицу, определитель которой называется минором, и умножьте элемент на этот минор. Затем объедините результаты по шахматному правилу знаков $+, -, +$:

Раскладывать можно по любой строке или столбцу, результат всегда один и тот же. Выбирайте ту, где больше всего нулей: каждый ноль убирает целое слагаемое.

Правило Саррюса — сокращение только для 3 на 3

Для матриц $3 \times 3$ есть легко запоминающееся сокращение. Сложите три произведения, идущие вправо вниз, продолжая счёт за край матрицы, и вычтите три произведения, идущие влево вниз. Для матрицы из примера 2 нисходящие произведения равны $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ и $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, их сумма 11. Восходящие произведения равны $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ и $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, их сумма $-38$. Определитель равен $11 - (-38) = 49$, как и при разложении Лапласа.

Осторожно: правило Саррюса работает только для матриц $3 \times 3$. Если применить ту же диагональную схему к матрице $4 \times 4$, получится неверный результат — частая ошибка, которая дорого обходится на контрольных.

Метод Гаусса для больших матриц

Разложение Лапласа быстро становится утомительным: матрица $10 \times 10$ потребовала бы миллионов произведений. Метод Гаусса гораздо эффективнее. Определитель треугольной матрицы — просто произведение диагональных элементов, поэтому матрицу приводят к треугольному виду, учитывая, как каждое элементарное преобразование строк меняет определитель:

• Если прибавить к строке другую строку, умноженную на число, определитель не изменится.
• Если поменять местами две строки, определитель умножится на $-1$.
• Если умножить строку на число $k$, определитель умножится на $k$.

Свойства, экономящие время

• Матрица с нулевой строкой или нулевым столбцом имеет определитель 0.
• Матрица с двумя одинаковыми строками или со строкой, кратной другой, имеет определитель 0.
• Для матрицы $n \times n$ выполняется $\det(kA) = k^n\det(A)$, а не $k\det(A)$.
• Определитель единичной матрицы равен 1.

С этими правилами многие определители находятся вообще без вычислений. Заметив, что одна строка вдвое больше другой, вы знаете, что определитель равен нулю и обратной матрицы нет, что можно подтвердить с помощью руководства по обратной матрице.

Правило Крамера: решение систем с помощью определителей

С помощью определителей небольшие системы линейных уравнений решаются напрямую. Для $2x + y = 5$ и $x - 3y = -1$ определитель коэффициентов равен $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Замените первый столбец правой частью, чтобы получить $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$, а затем второй столбец, чтобы получить $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. Тогда $x = \frac{D_x}{D} = 2$ и $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

Правило Крамера изящно и удобно для систем $2 \times 2$ и $3 \times 3$, но малоэффективно для больших систем, где метод Гаусса быстрее. Если $D = 0$, система не имеет решений или имеет бесконечно много решений. Калькулятор определителей показывает шаги разложения Лапласа и метода Гаусса для матриц любого размера, а калькулятор матриц выполняет сопутствующие вычисления.

Пример 4 на 4: пусть работают нули

Большие определители становятся посильными, если использовать нули. Рассмотрим матрицу со строками $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ и $(0, 0, 0, 4)$. В последней строке три нуля: разложение по ней оставляет одно слагаемое — элемент 4 на позиции со знаком плюс, умноженный на определитель матрицы $3 \times 3$, полученной вычёркиванием последней строки и последнего столбца.

У этой меньшей матрицы строки $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ и $(0, 0, 2)$. В её последней строке тоже два нуля, поэтому снова раскладываем: элемент 2, умноженный на $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$, даёт 2. Значит, весь определитель равен $4 \cdot 2 = 8$. Без нулей то же вычисление потребовало бы двадцати четырёх произведений по четыре числа.

Типичные ошибки, которых стоит избегать

• Забыть чередование знаков в разложении Лапласа, особенно минус на второй позиции первой строки.
• Применять диагональное правило Саррюса к матрице $4 \times 4$ или больше.
• В методе Гаусса умножить строку на число, не скорректировав определитель.
• Поменять местами две строки и забыть сменить знак.
• Считать, что $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$, что в общем случае неверно; аккуратно разделяются только произведения.

Хорошая привычка — вычислять определитель $3 \times 3$ двумя способами, например разложением по строке, а затем по столбцу, содержащему ноль. Если результаты совпадают, им можно доверять; если нет, расхождение приведёт вас к ошибке в знаке.

Определители в трёх измерениях

В трёхмерном пространстве модуль определителя $3 \times 3$ — это объём параллелепипеда, рёбрами которого служат три вектора-столбца. Поэтому матрица из примера 2 переводит единичный куб в тело объёмом 49. Та же идея даёт быстрый способ проверить, лежат ли три вектора в одной плоскости: это так тогда и только тогда, когда определитель равен нулю, ведь сплющенный параллелепипед не имеет объёма. С этим тесно связано векторное произведение, которое обычно вычисляют как символический определитель $3 \times 3$.

Частые вопросы