Векторное произведение двух векторов: объяснение

Что даёт векторное произведение

Скалярное произведение превращает два вектора в число. Векторное же произведение превращает два вектора в третий вектор. Оно определено только в трёхмерном пространстве, и у его результата две главные особенности. Его направление ортогонально обоим исходным векторам, а модуль равен площади параллелограмма, построенного на них:

Здесь $\theta$ — угол между векторами, от 0 до 180 градусов. Поскольку синус 0 и 180 градусов равен нулю, векторное произведение двух параллельных векторов всегда равно нулевому вектору, а ортогональные векторы дают наибольший возможный при их длинах модуль.

Формула через координаты

Для $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ координаты таковы:

Эту формулу трудно запомнить, поэтому большинство пользуется символическим определителем. Запишите единичные векторы $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$ в первую строку, под ними — координаты $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, и разложите по первой строке:

Всегда завершайте двумя проверками скалярным произведением. Они занимают секунды и выявляют почти любую ошибку в знаке, особенно в средней координате.

Правило правой руки и порядок множителей

Существуют два противоположных направления, ортогональных обоим векторам, и правило правой руки выбирает одно из них. Направьте пальцы правой руки вдоль $\mathbf{a}$, согните их в сторону $\mathbf{b}$, и большой палец укажет направление $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Для единичных векторов стандартного базиса получаем $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ и $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Если поменять порядок, большой палец укажет в другую сторону: векторное произведение антикоммутативно:

Оно также не ассоциативно: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, тогда как $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Зато оно дистрибутивно относительно сложения, а скалярный множитель можно выносить: $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Площади параллелограммов и треугольников

Поскольку модуль векторного произведения — площадь параллелограмма, оно даёт площади прямо по координатам. Векторы из примера 1 задают параллелограмм площадью $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$, а треугольник с этими двумя сторонами имеет половину этой площади, примерно 3,67.

Векторы нормали и уравнения плоскостей

Плоскость задаётся одной своей точкой и вектором нормали, перпендикулярным ей. Поскольку векторное произведение двух векторов плоскости ортогонально обоим, оно и есть такой вектор нормали. В примере 2 вектор $(6, 3, 2)$ — нормаль к плоскости, проходящей через $P$, $Q$ и $R$, поэтому её уравнение имеет вид $6x + 3y + 2z = d$. Подставив $P(1, 0, 0)$, получаем $d = 6$.

Плоскость — $6x + 3y + 2z = 6$, и точки $Q$ и $R$ ей тоже удовлетворяют: $3 \cdot 2 = 6$ и $2 \cdot 3 = 6$. Та же идея постоянно используется в 3D-графике, где каждому треугольнику модели нужен вектор нормали, чтобы задать его освещение и определить, какой стороной он обращён к камере.

Момент силы и другие применения в физике

Момент силы, измеряющий вращательное действие силы, — это векторное произведение: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, где $\mathbf{r}$ направлен от оси вращения к точке приложения силы. Его модуль равен $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

Момент импульса и магнитная сила, действующая на движущийся заряд, тоже являются векторными произведениями, и во всех случаях направление результата задаёт правило правой руки.

Смешанное произведение и объём

Объединив оба произведения, получаем смешанное произведение $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, равное определителю $3 \times 3$ со строками $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$. Его модуль — объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах. Для $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ и $(0, 0, 3)$ параллелепипед — обычный прямоугольный, и смешанное произведение равно $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Нулевое смешанное произведение означает, что три вектора лежат в одной плоскости.

Калькулятор векторного произведения вычисляет векторные произведения с каждым шагом определителя, а также находит площади и угол между векторами. Используйте его вместе с калькулятором скалярного произведения, чтобы проверить ортогональность.

Расстояние от точки до прямой

Толкование через площадь решает и классическую задачу на расстояние. Возьмём прямую, проходящую через точку $A$ с направляющим вектором $\mathbf{u}$, и точку $P$ вне прямой. Параллелограмм, построенный на $\overrightarrow{AP}$ и $\mathbf{u}$, имеет площадь $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, а поскольку длина его основания $|\mathbf{u}|$, высота, то есть расстояние от $P$ до прямой, равна площади, делённой на основание.

Возьмём, например, прямую через начало координат с направляющим вектором $(1, 2, 2)$ и точку $P(2, 1, 3)$. Векторное произведение $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ имеет модуль $\sqrt{26}$, а направляющий вектор — модуль 3, поэтому расстояние равно $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Для проверки можно спроецировать: точка удалена от начала координат на $\sqrt{14}$, её проекция на прямую равна $\frac{10}{3}$, и теорема Пифагора даёт то же расстояние.

Типичные ошибки и упражнения

• Забывать знак минус у средней координаты при разложении определителя.
• Менять порядок векторов, из-за чего направление результата меняется на противоположное.
• Брать за площадь треугольника модуль векторного произведения, а не его половину.
• Пытаться найти векторное произведение векторов на плоскости, не дописав сначала нулевую третью координату.

Для практики проверьте, что $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, то есть правило $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Затем убедитесь, что $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ — нулевой вектор, так как второй вектор вдвое больше первого. Наконец, вычислите $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$; должно получиться $(1, -1, 1)$, и обе проверки скалярным произведением должны дать ноль.

Почему формула даёт ортогональный вектор

Полезно понимать, почему формула через координаты работает, а не просто доверять ей. Возьмите скалярное произведение результата на сам $\mathbf{a}$: получится $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. Если раскрыть скобки, каждое слагаемое встречается дважды с противоположными знаками, поэтому сумма в точности равна нулю. То же сокращение происходит и с $\mathbf{b}$. На языке определителей скалярное произведение на $\mathbf{a}$ заменяет строку единичных векторов на $\mathbf{a}$, что даёт определитель с двумя одинаковыми строками, а такой определитель всегда равен нулю. В обоих случаях ортогональность заложена в саму формулу и не зависит от удачи на нескольких особых примерах.

Частые вопросы