Введение в матрицы: руководство для начинающих

Что такое матрица?

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, называемых элементами, расположенных по строкам и столбцам. Матрица из $m$ строк и $n$ столбцов называется матрицей размера $m \times n$ (читается «m на n»), и строки всегда указываются первыми. Элемент в строке $i$ и столбце $j$ матрицы $A$ обозначают $a_{ij}$. Например:

Матрица из одного столбца — это вектор-столбец, матрица из одной строки — вектор-строка. У квадратной матрицы число строк равно числу столбцов; только квадратные матрицы могут иметь определитель и обратную матрицу. Две матрицы равны, только если у них одинаковый размер и все соответствующие элементы совпадают.

Сложение матриц и умножение на число

Матрицы одного размера складывают поэлементно: элемент в строке $i$ и столбце $j$ матрицы $A + B$ равен $a_{ij} + b_{ij}$. Вычитание устроено так же. Матрицы разных размеров складывать нельзя, потому что нет осмысленного способа сопоставить их элементы.

При умножении матрицы на скаляр, то есть на обычное число, каждый элемент умножается на это число. Эти операции ведут себя в точности как привычная арифметика: сложение коммутативно и ассоциативно, и $k(A + B) = kA + kB$.

Умножение матриц: строка на столбец

Две матрицы перемножают не поэлементно. Каждый элемент произведения $AB$ — это скалярное произведение строки $A$ на столбец $B$:

Для этого число столбцов $A$ должно равняться числу строк $B$. Если $A$ — матрица размера $m \times n$, а $B$ — размера $n \times p$, то произведение имеет размер $m \times p$. Для быстрой проверки запишите размеры рядом: внутренние числа должны совпадать, а внешние дают размер результата. Матрица $2 \times 3$, умноженная на матрицу $3 \times 4$, даёт матрицу $2 \times 4$, а произведение матрицы $2 \times 3$ на другую матрицу $2 \times 3$ не определено.

Порядок важен: AB редко равно BA

Если в предыдущем примере поменять порядок, получится $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$ — другая матрица. Умножение матриц не коммутативно. С неквадратными матрицами ещё хуже: одно произведение может быть определено, а другое нет, или два произведения имеют разные размеры.

Другие привычные правила по-прежнему действуют. Умножение ассоциативно, $(AB)C = A(BC)$, и дистрибутивно относительно сложения, $A(B + C) = AB + AC$. Но стоит запомнить два предупреждения. Произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевой матрицей, а из $AB = AC$ нельзя сократить $A$, если только $A$ не обратима. Поэтому вычисления с матрицами требуют чуть больше аккуратности, чем с числами.

Раскрывая скобки в выражениях вроде $(A + B)^2$, следите за порядком: результат равен $A^2 + AB + BA + B^2$, а не $A^2 + 2AB + B^2$.

Единичная и транспонированная матрицы

Единичная матрица $I$ — это квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями во всех остальных местах. Она играет роль числа 1 в арифметике: $AI = IA = A$ для любой квадратной матрицы $A$ подходящего размера. Нулевая матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль 0.

Транспонированная матрица $A^T$ меняет местами строки и столбцы: элемент в строке $i$ и столбце $j$ матрицы $A^T$ равен $a_{ji}$. Матрица $2 \times 3$ превращается в матрицу $3 \times 2$. Полезное правило: при транспонировании произведения порядок множителей меняется на обратный.

Матрица, равная своей транспонированной, называется симметричной. Симметричные матрицы постоянно встречаются в статистике и физике, а их собственные значения ведут себя особенно хорошо: они всегда действительны.

Матрицы и системы уравнений

Одно из важнейших применений матриц — компактная запись системы линейных уравнений. Система $2x + y = 5$ и $x - 3y = -1$ превращается в:

Перемножив левую часть, вы снова получите оба уравнения — хорошая проверка того, что матрица составлена правильно. Решение: $x = 2$, $y = 1$. В такой форме одни и те же методы — метод Гаусса или обратная матрица — позволяют решить и два уравнения, и две тысячи. Наше руководство по решению систем уравнений объясняет методы вручную, а калькулятор систем уравнений решает их пошагово.

Зачем нужны матрицы

• Компьютерная графика: повороты, масштабирование и проекции 3D-моделей — это произведения матриц, применяемые к каждой вершине.
• Анализ данных: набор данных — это матрица с одной строкой на наблюдение и одним столбцом на признак, и методы вроде метода главных компонент работают прямо с ней.
• Сети: матрица смежности показывает, какие вершины соединены, а её степени подсчитывают пути заданной длины.
• Экономика и техника: модели «затраты — выпуск» и расчёт электрических цепей приводят к большим системам линейных уравнений.
• Машинное обучение: слои нейронной сети по сути являются произведениями матриц.

Калькулятор матриц складывает, перемножает и транспонирует матрицы любых согласованных размеров и показывает каждое вычисление «строка на столбец», что делает его удобным для проверки домашних заданий.

Степени и диагональные матрицы

Квадратную матрицу можно умножить саму на себя, поэтому степени вроде $A^2 = AA$ и $A^3 = AAA$ имеют смысл. У неквадратных матриц степеней нет, потому что размеры не согласуются. Степени матриц возникают всякий раз, когда процесс повторяется: если матрица описывает, как население за год перемещается между регионами, то её десятая степень описывает перемещение за десять лет.

Диагональные матрицы, у которых ненулевые элементы стоят только на главной диагонали, особенно удобны. Произведение двух диагональных матриц получают перемножением их диагональных элементов, так что возвести диагональную матрицу в степень — значит возвести в степень каждый диагональный элемент. Например, квадрат диагональной матрицы с элементами 2 и 3 — это диагональная матрица с элементами 4 и 9. Значительная часть продвинутой линейной алгебры посвящена приведению матрицы к диагональному виду, чтобы такие вычисления стали простыми.

Типичные ошибки с матрицами

• Путать строки и столбцы при указании размера. Строки всегда идут первыми.
• Перемножать поэлементно, а не «строка на столбец».
• Считать, что $AB = BA$, или менять порядок множителей при упрощении выражения.
• Пытаться сложить матрицы разных размеров или перемножить матрицы, у которых внутренние размеры не совпадают.
• Забывать, что при транспонировании произведения порядок множителей меняется на обратный.

Беглый взгляд на размеры перед каждым вычислением предотвращает большинство этих ошибок. Подпишите размер под каждой матрицей, проверьте, определена ли операция, и предскажите размер результата, прежде чем вычислять хотя бы один элемент.

Частые вопросы