Скалярное произведение векторов: объяснение

Формула через координаты

Скалярное произведение берёт два вектора с одинаковым числом координат и даёт одно число, а не вектор. Чтобы его вычислить, перемножьте соответствующие координаты и сложите результаты:

Формула работает в любой размерности, поэтому скалярное произведение так распространено в анализе данных, где у векторов могут быть тысячи координат. Оно же — основной кирпичик умножения матриц: каждый элемент произведения матриц — это скалярное произведение строки на столбец.

Геометрическая формула и угол между векторами

У скалярного произведения есть второе, геометрическое описание. Если $\theta$ — угол между двумя векторами, отложенными от одной точки, то:

Здесь $|\mathbf{a}|$ — длина, или модуль, вектора $\mathbf{a}$. Две формулы всегда дают одно и то же, что следует из теоремы косинусов, применённой к треугольнику со сторонами $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. Объединив их, получаем удобный способ найти угол между любыми двумя векторами:

О чём говорит знак

Поскольку длины положительны, скалярное произведение имеет тот же знак, что и $\cos\theta$. Так можно быстро оценить угол, не вычисляя его:

• Положительное: угол острый, меньше 90 градусов, и векторы направлены примерно в одну сторону.
• Ноль: векторы перпендикулярны, то есть ортогональны.
• Отрицательное: угол тупой, больше 90 градусов, и векторы направлены примерно в противоположные стороны.

Самый полезный случай — нулевой. Например, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$: значит, эти векторы ортогональны. На плоскости, если поменять местами координаты вектора и изменить знак одной из них, всегда получается ортогональный вектор — удобный приём, чтобы найти вектор нормали к прямой.

Модули и единичные векторы

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля, потому что угол равен нулю и $\cos 0 = 1$:

Значит, модуль $(2, -1, 3)$ равен $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Разделив вектор на его модуль, получаем единичный вектор длины 1 того же направления. Единичные векторы удобны тем, что скалярное произведение двух единичных векторов — это просто косинус угла между ними.

Проекция одного вектора на другой

Ортогональная проекция $\mathbf{a}$ на $\mathbf{b}$ — это тень, которую $\mathbf{a}$ отбрасывает на прямую вектора $\mathbf{b}$, когда свет падает перпендикулярно этой прямой. Скалярное произведение даёт её напрямую:

Число $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, здесь примерно 4,427, — скалярная проекция $\mathbf{a}$ на $\mathbf{b}$, то есть длина тени со знаком. Проекции раскладывают вектор на составляющую вдоль направления и составляющую, ортогональную ему; этот шаг встречается повсюду, от физики до метода наименьших квадратов в статистике.

Работа силы

В физике работу совершает только та часть силы, которая действует в направлении движения. Поэтому работа постоянной силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathbf{d}$ — это скалярное произведение: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Свойства и применения

• Коммутативность: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Дистрибутивность: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Скалярный множитель можно выносить: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Неравенство Коши — Буняковского: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$; оно гарантирует, что формула косинуса всегда даёт значение от $-1$ до 1.

За пределами геометрии скалярное произведение лежит в основе косинусного сходства, с помощью которого поисковые и рекомендательные системы измеряют, насколько похожи два документа или два пользователя; освещения в 3D-графике, где яркость зависит от скалярного произведения нормали поверхности на направление света; и нейронных сетей, нейроны которых вычисляют скалярные произведения входов на веса. Калькулятор скалярного произведения пошагово находит произведение, угол и проекции, а калькулятор векторного произведения отвечает за другой способ умножать векторы, о котором рассказывает наше руководство по векторному произведению.

Классическая геометрическая задача

Скалярное произведение решает некоторые геометрические задачи удивительно быстро. Какой угол образует диагональ куба с одним из его рёбер? Поместите куб одной вершиной в начало координат, с рёбрами длины 1 вдоль осей. Диагональ идёт от начала координат до $(1, 1, 1)$, а ребро — до $(1, 0, 0)$.

Их скалярное произведение равно 1, длина диагонали $\sqrt{3}$, длина ребра 1, поэтому $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\theta \approx 54.7^\circ$. В классической геометрии пришлось бы строить внутри куба прямоугольный треугольник и тщательно рассуждать о его сторонах; с векторами хватает трёх строк. Тем же рассуждением находят угол между любыми двумя прямыми, плоскостями или химическими связями, если их направления можно задать векторами.

Типичные ошибки

• Записывать результат как вектор, например $(8, 0, -6)$, а не как сумму 2.
• Забывать квадратные корни при вычислении модулей для формулы угла.
• Делить в формуле ортогональной проекции на $|\mathbf{b}|$ вместо $|\mathbf{b}|^2$.
• Путать градусы и радианы на калькуляторе при вычислении $\cos\theta$ или обратной функции.
• Делать вывод, что два вектора ортогональны, когда один из них на самом деле нулевой.

Знак — хорошая проверка на правдоподобие. Если на вашем рисунке два вектора явно направлены в похожие стороны, скалярное произведение должно быть положительным; если вычисление дало отрицательное число, ищите ошибку в знаке какой-нибудь координаты.

Упражнения

Решите их, а затем сверьтесь с решениями ниже. Сначала вычислите $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$; произведения равны 4, $-3$ и $-10$, поэтому результат $-9$, а отрицательное значение показывает, что угол тупой. Затем найдите $k$, при котором $(2, k)$ ортогонален $(3, -6)$: из $6 - 6k = 0$ следует $k = 1$. Наконец, найдите угол между $(1, 0)$ и $(1, 1)$: скалярное произведение равно 1, модули равны 1 и $\sqrt{2}$, значит, угол равен 45 градусам, что подтверждает быстрый рисунок.

Немного истории

Векторная запись моложе почти всей школьной математики. В 1840-х годах Уильям Роуэн Гамильтон изобрёл кватернионы — числа с одной действительной и тремя мнимыми частями, и произведение двух чистых кватернионов содержало одновременно скалярную и векторную части. В 1880-х годах Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд разделили эти части на скалярное и векторное произведения и дали физикам более простую векторную алгебру, которую преподают до сих пор. Гиббс выбрал знаком операции точку, поэтому в некоторых языках скалярное произведение называют «точечным».

Частые вопросы