Теорема косинусов с примерами

Формула

Обозначьте треугольник как обычно: углы $A$, $B$, $C$ и противолежащие стороны $a$, $b$, $c$. У теоремы косинусов три записи, по одной для каждой стороны, и все они построены по одной схеме:

Читайте её так: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус поправочное слагаемое. Угол в этом слагаемом лежит напротив стороны из левой части и одновременно является углом между двумя сторонами из правой части. При $C = 90^\circ$ имеем $\cos C = 0$, и поправка исчезает: остаётся $c^2 = a^2 + b^2$. Значит, теорема Пифагора — частный случай.

Если выразить косинус, получится форма для вычисления углов:

Короткое доказательство через координаты

Поместите вершину $C$ в начало координат, а сторону $a$ — на положительную полуось x: тогда вершина $B$ находится в точке $(a, 0)$. Вершина $A$ удалена от начала координат на $b$ в направлении угла $C$, поэтому её координаты равны $(b\cos C, b\sin C)$.

Сторона $c$ — это расстояние от $A$ до $B$. По формуле расстояния $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. После раскрытия скобок получаем $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, а поскольку $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, это превращается в $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Доказательство верно как для острого, так и для тупого угла $C$, потому что координаты автоматически учитывают знаки.

То же тождество возникает в векторной форме, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, и именно поэтому с помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами.

Нахождение стороны: две стороны и угол между ними

Если известны две стороны и угол между ними (СУС), начать с теоремы синусов нельзя, потому что ни одна сторона не образует пару с противолежащим углом. Теорема косинусов сразу даёт третью сторону.

Нахождение углов: известны все три стороны

Если известны все три стороны (ССС), используйте форму для косинуса для каждого угла. Начните с наибольшего угла, лежащего напротив самой длинной стороны. Если он тупой, его косинус отрицателен, и арккосинус обрабатывает это правильно, ведь он даёт углы от $0^\circ$ до $180^\circ$. Когда наибольший угол известен, два других обязательно острые, и тогда даже теорема синусов может доделать остальное без всякой неоднозначности.

Если три длины не могут образовать треугольник, это видно по формуле: косинус выходит за пределы $[-1, 1]$. При сторонах 3, 4 и 8 для угла напротив 8 получилось бы $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, что невозможно, в согласии с неравенством треугольника $3 + 4 < 8$.

Остроугольный, прямоугольный или тупоугольный без калькулятора

Знак $a^2 + b^2 - c^2$ совпадает со знаком $\cos C$. Если $c$ — самая длинная сторона, получается быстрая классификация:

• $c^2 < a^2 + b^2$: наибольший угол острый, значит, треугольник остроугольный.
• $c^2 = a^2 + b^2$: треугольник прямоугольный.
• $c^2 > a^2 + b^2$: треугольник тупоугольный.

Для сторон 5, 7 и 10 имеем $100 > 74$: треугольник тупоугольный, что подтвердил пример 3. Для 6, 8 и 9 имеем $81 < 100$: он остроугольный.

Площадь по трём сторонам: формула Герона

Если объединить теорему косинусов с формулой площади $\frac{1}{2}ab\sin C$, получится формула Герона, в которой используются только длины сторон. Пусть $s = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр. Тогда:

Для сторон 5, 7 и 10 имеем $s = 11$, а площадь равна $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. Для проверки $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ даёт тот же результат, 16,25.

Выбор между двумя теоремами

Используйте теорему косинусов в случаях СУС и ССС — двух случаях без пары из стороны и противолежащего угла. Используйте теорему синусов, когда у вас есть сторона и противолежащий ей угол. В смешанных задачах обычно сначала применяют теорему косинусов, а теорема синусов завершает решение. Руководство по решению треугольников собирает все случаи в одном месте.

Практическое преимущество теоремы косинусов в том, что для угла она никогда не даёт неоднозначного ответа: каждому косинусу между $-1$ и 1 соответствует ровно один угол между $0^\circ$ и $180^\circ$. Теорема синусов, напротив, не отличает острый угол от смежного с ним тупого. Поэтому многие учебники советуют находить наибольший угол через косинус всякий раз, когда возможен тупой угол.

Частые ошибки

• Сначала вычислить $a^2 + b^2 - 2ab$, а затем умножить на $\cos C$. Произведение $2ab\cos C$ нужно вычислить до вычитания.
• Взять угол, который не заключён между двумя данными сторонами.
• Забыть итоговый квадратный корень при нахождении стороны.
• Путать градусы и радианы на калькуляторе.
• Слишком рано округлить $c$ и затем использовать это округлённое значение для нахождения углов.

Калькулятор теоремы косинусов решает случаи СУС, ССС и другие, показывая каждую подстановку. Чтобы повторить точные значения косинусов особых углов, воспользуйтесь калькулятором единичной окружности.

Где применяется теорема косинусов

Любая ситуация с двумя известными расстояниями и углом между ними — задача для теоремы косинусов. Штурманы вычисляют с её помощью, насколько далеко судно от порта после двух отрезков пути с разными курсами. Инженеры определяют длину распорки или троса, соединяющего концы двух балок, образующих известный угол. В робототехнике угол, на который должен повернуться каждый сустав манипулятора из двух звеньев, чтобы достичь точки, находят, выражая угол из теоремы косинусов, поскольку длины обоих звеньев и расстояние до цели известны.

В науке о данных та же формула измеряет, насколько похожи два списка чисел. Если рассматривать каждый список как вектор, косинус угла между ними, вычисленный через скалярное произведение, называется косинусным сходством; его применяют в поисковых системах и рекомендательных системах. Геометрия та же, что и в треугольнике; меняется лишь число измерений.

Решённые упражнения

1. Стороны 4 и 6 образуют угол $120^\circ$. Найдите третью сторону. Решение: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, так как $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Найдите наибольший угол треугольника со сторонами 7, 8 и 13. Решение: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, значит, угол равен ровно $120^\circ$.
3. Треугольник со сторонами 9, 12 и 15 остроугольный, прямоугольный или тупоугольный? Решение: $81 + 144 = 225 = 15^2$, значит, он прямоугольный.
4. Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15. Решение: $s = 21$, площадь $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Частые вопросы