Тригонометрические тождества и формулы: главный список и как им пользоваться

Тождества и уравнения

Равенство $\sin x = \frac{1}{2}$ выполняется только для определённых углов: это уравнение, которое решают. Равенство $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ выполняется для любого угла: это тождество, инструмент, которым пользуются. Тождества служат для того, чтобы переписать выражение в более удобном виде, не меняя его значения.

Предполагаемое тождество всегда можно проверить численно. Если оно не выполняется хотя бы для одного угла, это не тождество. Если оно выполняется для нескольких независимых углов, оно, вероятно, верно, но уверенность даёт только доказательство. Эта привычка к численной проверке ловит множество ошибок в знаках и очень окупается при обучении.

Основные соотношения

Соотношения для обратных величин и частных выражают остальные четыре функции через синус и косинус:

Основное тригонометрическое тождество следует из уравнения единичной окружности, $x^2 + y^2 = 1$, где $x = \cos\theta$ и $y = \sin\theta$. Разделив его на $\cos^2 x$ или на $\sin^2 x$, получаем ещё две формы:

Симметрия единичной окружности даёт формулы чётности и нечётности $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$ и $\tan(-x) = -\tan x$, а также формулы для дополнительных углов, например $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Последние объясняют названия: косинус — это синус дополнительного угла. Руководство по единичной окружности показывает, откуда берётся каждая из этих формул.

Формулы сложения

Эти формулы выражают тригонометрические значения суммы или разности углов через значения отдельных углов. Из них следуют почти все остальные формулы.

Обратите внимание на смену знака в формуле косинуса: у косинуса суммы стоит минус. Классическая ошибка — считать, что $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$. Проверка при $A = B = \frac{\pi}{2}$ показывает, что это неверно: левая часть равна $\sin\pi = 0$, а правая — 2.

Аналогично $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$.

Формулы двойного угла и понижения степени

Если в формулах сложения положить $B = A$, получатся формулы двойного угла. Для косинуса есть три равносильные формы, которые получаются заменой $\sin^2$ или $\cos^2$ с помощью основного тригонометрического тождества.

Если выразить квадраты из двух последних форм, получатся формулы понижения степени, превращающие квадраты в линейные выражения от двойного угла. В математическом анализе они незаменимы, потому что $\sin^2 x$ трудно проинтегрировать напрямую.

Например, $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Заменив в этих формулах $x$ на $\frac{x}{2}$, получаем формулы половинного угла, например $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Как доказать тождество

Доказать тождество — значит шаг за шагом преобразовывать одну часть, пока не получится другая. Не обращайтесь с ним как с уравнением, выполняя одно и то же действие с обеими частями: так вы предполагаете то, что хотите доказать. В большинстве случаев работают следующие стратегии:

1. Начните с более сложной части: там больше что упрощать.
2. Запишите всё через синус и косинус.
3. Ищите конструкции из основного тригонометрического тождества, такие как $1 - \cos^2 x$, и заменяйте их.
4. Приводите дроби к общему знаменателю или разбивайте дробь на две.
5. Выносите общий множитель или домножайте на сопряжённое выражение, например $1 + \sin x$, если в знаменателе стоит сумма.
6. Всё время держите в поле зрения целевую часть, чтобы каждый шаг приближал вас к ней.

Более короткое тождество связывает два семейства формул: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.

Тождества при решении уравнений

Тождества часто превращают тригонометрическое уравнение в квадратное уравнение относительно одной функции. Решите это уравнение, а затем найдите все углы с помощью единичной окружности.

Не делите обе части на тригонометрическую функцию, например на $\sin x$: так можно потерять решения, при которых она обращается в ноль. Перенесите всё в одну часть и разложите на множители.

Разложение на множители выполняется точно так же, как для обычных квадратных уравнений; прочитайте, как решать квадратные уравнения, если хотите это повторить.

Какие формулы стоит выучить наизусть

Не нужно заучивать каждую формулу по отдельности. Запомните основное тригонометрическое тождество, формулы сложения для синуса и косинуса и определения остальных четырёх функций. Всё остальное выводится в одну-две строки: формулы двойного угла — из формул сложения при $B = A$; другие формы основного тождества — делением; понижение степени — выражением квадрата из формулы двойного угла для косинуса; а формулы разности — из формул сложения вместе с формулами чётности и нечётности.

В условиях экзаменационного стресса надёжнее уметь вывести формулу, чем вспоминать её, потому что по ходу можно себя проверить. Кроме того, на многих экзаменах разрешён справочник формул: на самом деле проверяется умение выбрать нужную формулу, а оно приходит только с практикой на разнообразных задачах.

Частые ошибки

• Писать $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ или $\sin 2x = 2\sin x$.
• Ошибаться со знаком в $\cos(A + B)$, где стоит минус.
• Путать $\sin^2 x$, то есть $(\sin x)^2$, с $\sin(x^2)$.
• Работать одновременно с обеими частями тождества, как будто это уравнение.
• Делить уравнение на тригонометрическую функцию и терять решения.

Калькулятор тригонометрических тождеств проверяет, тождественны ли два выражения, и предлагает путь упрощения — хороший способ проверить собственные доказательства.

Где тождества встречаются снова

Тригонометрические тождества — не просто упражнение из главы о тригонометрии. В математическом анализе производная синуса выводится из формулы сложения и двух пределов, интегралы от степеней синуса и косинуса опираются на понижение степени, а тригонометрическая подстановка использует $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, чтобы избавиться от корней вроде $\sqrt{1 + x^2}$.

В физике и технике сумма двух волн одной частоты снова является волной той же частоты, и формула сложения показывает, как именно. Если записать $a\sin x + b\cos x$ в виде $R\sin(x + \varphi)$ с $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, сразу получается амплитуда результирующей волны. Например, у $3\sin x + 4\cos x$ амплитуда 5: наибольшее значение равно 5, а наименьшее $-5$. Если раскрыть $5\sin(x + \varphi)$ по формуле сложения и сравнить коэффициенты, получим $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin\varphi = \frac{4}{5}$.

Обработка сигналов, повороты в компьютерной графике и теоремы для решения треугольников опираются на тот же небольшой набор формул; поэтому владение им окупается годами, ещё долго после окончания главы о тригонометрии.

Частые вопросы