Единичная окружность — точные значения синуса, косинуса и тангенса

О калькуляторе единичной окружности

Единичная окружность превращает тригонометрию в координаты. Каждому углу соответствует точка на окружности радиуса 1, а косинус и синус угла — это просто $x$ -координата и $y$ -координата этой точки. Запомнив несколько особых точек и пользуясь симметрией, можно получить точные значения для десятков углов без калькулятора.

Этот калькулятор проделывает эти рассуждения за вас. Он переводит угол из градусов в радианы или обратно, приводит его к одному обороту, определяет четверть и приведённый угол и для табличных углов находит точные значения вроде $\frac{\sqrt3}{2}$ . Для всех остальных углов он выдаёт точные десятичные значения. Кроме того, он показывает тангенс, секанс, косеканс и котангенс и сообщает, если какая-то из этих величин не определена.

Что такое единичная окружность?

Единичная окружность — это окружность $x^2 + y^2 = 1$ с центром в начале координат и радиусом 1. Угол $\theta$ отсчитывается от положительного направления оси $x$ : против часовой стрелки, если он положителен, и по часовой стрелке, если отрицателен. Точка, в которой его конечная сторона пересекает окружность, — это $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Поскольку эта точка лежит на окружности, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ при любом угле: это основное тригонометрическое тождество. Тангенс — это отношение $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , угловой коэффициент конечной стороны, а обратные величины — $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ и $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

Как пользоваться калькулятором единичной окружности

Введите угол, например 150, -30 или 5pi/4.
Выберите градусы или радианы.
Нажмите «Найти значения».
Посмотрите четверть, приведённый угол и точные координаты.
Воспользуйтесь значениями тангенса и обратных величин под координатами.

Формулы

Точка на единичной окружности

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

Из градусов в радианы

\theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}

Основное тригонометрическое тождество

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Тангенс

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Разобранный пример: θ = 150°

В примере используется $\theta = 150°$ . Угол лежит во второй четверти, где $x$ отрицателен, а $y$ положителен, и его приведённый угол равен $180° - 150° = 30°$ .

Точка для $30°$ — это $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . Учитывая знаки второй четверти, получаем $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , а разделив синус на косинус — $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Как мы поняли вашу задачу

Значения на единичной окружности для 150°

\theta = 150^\circ

Пошаговое решение

Переводим градусы в радианы (умножаем на π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{рад}$
Находим конечную сторону угла: во второй четверти
Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен (правило знаков по четвертям).
Приведённый угол (острый угол с осью x)
$\theta_{\text{пр}} = 30^\circ$
Находим точные координаты по приведённому углу и учитываем знаки четверти
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Тангенс = синус ÷ косинус
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Обратные тригонометрические величины
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Использованные формулы

Точка на единичной окружности
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Тангенс и обратные величины
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Градусы и радианы
$\text{рад} = \text{град} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 рад) оканчивается во второй четверти с приведённым углом 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Проверка

cos²θ + sin²θ = 1 (должно равняться 1).

Подробное объяснение

Табличные углы

У трёх острых углов простые точные значения. При $30°$ точка равна $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , при $45°$ — $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ , а при $60°$ — $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Эти значения берутся из треугольников с углами 30-60-90 и 45-45-90 градусов. Вместе с углами на осях, $0°$ , $90°$ , $180°$ и $270°$ , они дают шестнадцать известных точек единичной окружности.

Приведённый угол и знаки по четвертям

У каждого угла есть приведённый угол: острый угол, который его конечная сторона образует с осью $x$ . Координаты угла по модулю совпадают с координатами приведённого угла; меняются лишь знаки в зависимости от четверти. В первой четверти положительны обе координаты, во второй — только синус, в третьей — только тангенс, в четвёртой — только косинус. Так $\frac{5\pi}{4}$ , то есть $225°$ в третьей четверти с приведённым углом $45°$ , даёт точку $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Углы больше полного оборота и отрицательные углы сначала приводятся к углу с той же конечной стороной прибавлением или вычитанием $360°$ . Калькулятор приводит $765°$ к $45°$ , а $-30°$ рассматривает как $330°$ в четвёртой четверти, где точка равна $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

Неопределённые значения и другие углы

Тангенс и секанс содержат деление на косинус, поэтому они не определены, когда конечная сторона вертикальна, — при $90°$ и $270°$ . Котангенс и косеканс содержат деление на синус и не определены при $0°$ и $180°$ . Калькулятор сообщает об этих случаях, а не выводит бессмысленное число.

У большинства углов, например $20°$ , нет простого выражения через корни. Для них калькулятор выдаёт десятичные значения, но по-прежнему использует четверть и приведённый угол, чтобы было понятно, откуда берутся знаки.

Типичные ошибки

Путать координаты: косинус — это $x$ -координата, синус — $y$ -координата.
Использовать режим градусов для угла с $\pi$ или режим радиан для угла в градусах.
Отсчитывать приведённый угол от оси $y$ , а не от оси $x$ .
Брать знак из другой четверти; запомните, какие функции положительны в какой четверти.
Записывать $\tan 90°$ как очень большое число, вместо того чтобы отметить, что значение не определено.

Советы

Выучите значения при $30°$ , $45°$ и $60°$ ; всё остальное следует из симметрии.
Считайте кратными $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$ , чтобы быстро находить положение углов в радианах.
При необходимости избавляйтесь от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Проверяйте результаты равенством $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Воспользуйтесь калькулятором тригонометрических тождеств, чтобы доказывать соотношения между этими функциями.

Частые вопросы

Каковы координаты точки на единичной окружности?

Для угла θ точка равна (cos θ, sin θ). Координата x — это косинус, а координата y — синус.

Как найти приведённый угол?

Приведите угол к значению от 0° до 360° и измерьте острый угол с осью x: θ в первой четверти, 180° − θ во второй, θ − 180° в третьей и 360° − θ в четвёртой.

Можно ли вводить углы в радианах?

Да. Выберите радианы и вводите выражения вроде pi/3 или 5pi/4. В шагах калькулятор переводит радианы в градусы.

Почему tan 90° не определён?

Тангенс — это синус, делённый на косинус, а cos 90° = 0. Деление на ноль не определено, поэтому у tan 90° и sec 90° нет значения.

Принимает ли калькулятор отрицательные углы и углы больше 360°?

Да. Он приводит их к углу с той же конечной стороной в пределах одного оборота. Так 765° приводится к 45°, а −30° рассматривается как 330°.

Что с углами, которые не являются табличными?

Для углов вроде 20° простой точной формы нет: калькулятор показывает десятичные значения и всё равно объясняет четверть и приведённый угол.

Какие тригонометрические функции положительны в каждой четверти?

В первой четверти положительны все; во второй — синус и косеканс; в третьей — тангенс и котангенс; в четвёртой — косинус и секанс.

Как запомнить знаки по четвертям?

Обходите четверти против часовой стрелки начиная с первой: в первой положительны все функции, во второй — синус, в третьей — тангенс, в четвёртой — косинус. Калькулятор называет это правило на шаге с четвертью, чтобы каждый знак можно было связать с его четвертью.

Попробуйте калькулятор единичной окружности

Введите угол и получите его точку, точные значения тригонометрических функций и приведённый угол.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор единичной окружности