Единичная окружность: радианы, углы приведения и точные значения

Что такое единичная окружность?

Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Углы отсчитываются от положительной полуоси x: против часовой стрелки для положительных углов и по часовой стрелке для отрицательных. Луч, с которого начинается угол, называется начальной стороной, а луч, на котором он заканчивается, — конечной стороной.

Для любого угла $\theta$ конечная сторона пересекает окружность ровно в одной точке. Определение, которое делает единичную окружность такой полезной, звучит так: эта точка имеет координаты $(\cos\theta, \sin\theta)$. Тангенс — это их отношение:

Для острых углов это совпадает с определениями в прямоугольном треугольнике, которые вы, возможно, уже знаете. Опустите перпендикуляр из точки на ось x: получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 1, прилежащим катетом $x$ и противолежащим катетом $y$. Значит, $\cos\theta = \frac{x}{1}$ и $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Единичная окружность распространяет эти определения на все углы, включая тупые, отрицательные и очень большие.

Градусы и радианы

Полный оборот составляет $360^\circ$, то есть $2\pi$ в радианах. Радиан — это угол, который вырезает дугу длиной в радиус. На единичной окружности, радиус которой равен 1, радианная мера угла в точности равна длине соответствующей дуги; поэтому радиан — естественная единица в математическом анализе.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• В градусах $\frac{7\pi}{4}$ радиан $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Один радиан примерно равен $57.3^\circ$.

Особые углы первой четверти

Три угла имеют точные значения, которые берутся из двух известных треугольников. Угол $45^\circ$ получается из равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 1, оба катета которого равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы $30^\circ$ и $60^\circ$ получаются из половины равностороннего треугольника со стороной 1, катеты которой равны $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: точка $(1, 0)$, значит, $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: точка $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, значит, $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: точка $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, значит, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: точка $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, значит, $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: точка $(0, 1)$, значит, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, а $\tan\frac{\pi}{2}$ не определён.

Запомнить помогает закономерность: синусы углов $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ равны $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$, а косинусы — тот же список в обратном порядке. Кроме того, все точки удовлетворяют $x^2 + y^2 = 1$; например, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Приведение к первой четверти

Привычные шестнадцать точек не нужно заучивать по отдельности. У каждого угла есть угол приведения — острый угол, который конечная сторона образует с осью x. Координаты угла по модулю совпадают с координатами угла приведения; меняются только знаки в зависимости от четверти.

• Первая четверть (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): $x$ и $y$ положительны, поэтому положительны все три функции.
• Вторая четверть (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): $x$ отрицателен, $y$ положителен, поэтому положителен только синус.
• Третья четверть (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): обе координаты отрицательны, поэтому положителен только тангенс.
• Четвёртая четверть (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): $x$ положителен, $y$ отрицателен, поэтому положителен только косинус.

Аналогично у $\frac{3\pi}{4}$ угол приведения $\frac{\pi}{4}$ во второй четверти, что даёт точку $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

Отрицательные углы и углы больше полного оборота

Если прибавить или вычесть полный оборот, $2\pi$, мы попадаем в ту же точку, поэтому синус и косинус повторяются через каждые $2\pi$. Чтобы вычислить большой угол, вычитайте кратные $2\pi$, пока не получите угол между 0 и $2\pi$; для отрицательного угла прибавляйте кратные $2\pi$. Углы с одной и той же конечной стороной дают одинаковые значения.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$: соответствует той же точке, что и $\frac{\pi}{4}$, то есть $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ соответствует той же точке, что и $\frac{11\pi}{6}$, поэтому $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, поэтому $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

Симметрия относительно оси x даёт ещё два правила: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, то есть косинус — чётная функция, и $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, то есть синус — нечётная. У тангенса период короче, $\pi$, потому что точки для $\theta$ и $\theta + \pi$ диаметрально противоположны и дают одно и то же отношение $\frac{y}{x}$.

Основное тригонометрическое тождество и остальные значения

Поскольку все точки окружности удовлетворяют $x^2 + y^2 = 1$, все углы удовлетворяют важнейшему соотношению тригонометрии:

Знак определяет четверть; само соотношение даёт только модуль. Руководство по тригонометрическим тождествам выводит отсюда множество других тождеств.

Решение простейших тригонометрических уравнений на окружности

Чтобы решить уравнение вроде $\sin\theta = \frac{1}{2}$ при $0 \le \theta < 2\pi$, найдите все точки окружности с ординатой $\frac{1}{2}$. Их две: одна в первой четверти при $\frac{\pi}{6}$ и одна во второй четверти при $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Аналогично для $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ нужны точки с абсциссой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, которые лежат при $\frac{3\pi}{4}$ во второй четверти и при $\frac{5\pi}{4}$ в третьей. Если нужны все решения, прибавьте $2\pi k$ для любого целого $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ или $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Клавиша арксинуса или арккосинуса на калькуляторе даёт только один ответ. Единичная окружность показывает, где находится второе решение, чего калькулятор никогда не делает.

Как учить эффективно

Заучивать шестнадцать точек как отдельные факты утомительно и ненадёжно. Лучше основательно освоить три вещи: три точки первой четверти для $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$; нахождение угла приведения; и знаки в каждой четверти. С этим вы справитесь с любым особым углом за секунды.

В течение недели раз в день рисуйте окружность по памяти и отмечайте углы в градусах и радианах. Затем проверяйте себя на случайных углах, в том числе отрицательных или больших $2\pi$. Калькулятор единичной окружности даёт точные значения и угол приведения для любого ввода, так что вы сразу проверите свои ответы. Более поздние темы, такие как теорема синусов и математический анализ с тригонометрическими функциями, предполагают эту уверенность.

Частые ошибки

• Путать координаты: абсцисса — это косинус, ордината — синус.
• Пользоваться калькулятором в режиме градусов в задаче с радианами или наоборот.
• Отсчитывать угол приведения от оси y, а не от оси x.
• Указывать для уравнения вроде $\sin\theta = \frac{1}{2}$ только одно решение.
• Забывать, что тангенс не определён там, где косинус равен нулю, то есть при $\frac{\pi}{2}$ и при $\frac{3\pi}{2}$.

От единичной окружности к графикам синуса и косинуса

Представьте точку, которая с постоянной скоростью движется против часовой стрелки по единичной окружности. Её высота над осью x за первую четверть оборота растёт от 0 до 1, после половины оборота снова равна 0, после трёх четвертей опускается до $-1$ и после полного оборота снова равна 0. Если построить эту высоту в зависимости от угла, получится знакомая синусоида $y = \sin x$. Если построить горизонтальное положение, получится $y = \cos x$ — та же волна, сдвинутая на четверть оборота влево.

Всё об этих графиках можно прочитать по окружности. Их множество значений — $[-1, 1]$, потому что координаты точки на окружности радиуса 1 по модулю никогда не превышают 1. Период равен $2\pi$, потому что полный оборот возвращает точку в исходное положение. Синус обращается в ноль при кратных $\pi$, где точка пересекает ось x, а косинус — при нечётных кратных $\frac{\pi}{2}$, где она пересекает ось y. Если видеть в этих графиках запись кругового движения, становится понятно, почему тригонометрические функции описывают приливы, звуковые волны, переменный ток и любое явление, повторяющееся циклами.

Частые вопросы