Тригонометрия связывает углы и длины. Эти руководства разбирают единичную окружность и точные значения, тождества, которые стоит знать, и теоремы, позволяющие решить любой треугольник.
Тригонометрия прямоугольного треугольника, где синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, работает только для углов от 0° до 90°. Единичная окружность распространяет те же функции на все углы, и из неё следуют и тождества, и теоремы о треугольниках. Руководства этого раздела идут в том же порядке.
Каждая статья приводит точные значения там, где они существуют, объясняет, когда работать в градусах, а когда в радианах, и содержит полностью решённые задачи на треугольники, ответы в которых проверены вторым способом. Неоднозначный случай теоремы синусов, когда известны две стороны и угол, не лежащий между ними, разобран отдельно и особенно тщательно, потому что именно на нём на экзаменах теряют больше всего баллов.
В этих статьях углы указаны в градусах и радианах всегда, когда это помогает, а для каждого результата, полученного на калькуляторе, назван использованный режим, ведь калькулятор в неправильном режиме — самая частая причина невозможных тригонометрических ответов.
Начните с единичной окружности, продолжите тождествами, затем теоремами синусов и косинусов и завершите общим руководством по решению треугольников.
Тригонометрия
Единичная окружность превращает тригонометрию из списка заученных значений в картинку, которую можно читать. Каждому углу соответствует точка на окружности, и координаты этой точки — это косинус и синус угла.
Тригонометрия
Тригонометрическое тождество — это равенство, верное для любого угла, при котором определены обе его части. Короткого списка формул, выводимых из единичной окружности, достаточно, чтобы упрощать выражения, находить точные значения, доказывать утверждения и решать уравнения.
Тригонометрия
Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике каждая сторона, делённая на синус противолежащего угла, даёт одно и то же число. С её помощью решают треугольник, когда известны два угла и сторона, а при некоторой осторожности — и когда известны две стороны и угол, противолежащий одной из них.
Тригонометрия
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник. С её помощью находят третью сторону, когда известны две стороны и угол между ними, и любой угол, когда известны все три стороны.
Тригонометрия
Решить треугольник — значит по известным данным найти все три стороны и все три угла. Нужный инструмент зависит от того, какие три элемента вам известны, поэтому первый шаг всегда — определить случай.