Тригонометрия

Как решить любой треугольник, случай за случаем

Q: Сколько данных нужно, чтобы решить треугольник?

Три, среди которых хотя бы одна сторона. Одни только три угла задают лишь форму. Конфигурация ССУ может дать ноль, один или два треугольника, поэтому она требует дополнительной проверки.

Q: С какой теоремы начинать для треугольника общего вида?

Если у вас есть сторона и противолежащий ей угол, начните с теоремы синусов. В случае СУС или ССС такой пары нет, поэтому начните с теоремы косинусов.

Q: Почему в задаче ССС сначала ищут наибольший угол?

Только наибольший угол может быть тупым. Если вычислить его через арккосинус, он будет определён верно, а два других угла гарантированно острые, так что неоднозначности не остаётся.

Q: Можно ли решить треугольник по трём углам?

Не однозначно. Любое увеличение треугольника сохраняет те же углы: можно найти отношения сторон, но не их длины. Чтобы задать размер, нужна длина одной стороны.

Q: Как запомнить функции в прямоугольном треугольнике?

Синус — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу, косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу, а тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий. Удобно помнить, что синус и тангенс «смотрят» на противолежащий катет, а косинус — на прилежащий, котангенс же равен прилежащему катету, делённому на противолежащий, и, кроме того, полезно знать, что тангенс равен синусу, делённому на косинус.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубликовано 25 октября 2026 г.

Решить треугольник — значит по известным данным найти все три стороны и все три угла. Нужный инструмент зависит от того, какие три элемента вам известны, поэтому первый шаг всегда — определить случай.

Что значит решить треугольник

У каждого треугольника шесть элементов: три стороны и три угла. Если известны три из них, среди которых хотя бы одна сторона, треугольник, как правило, определён, и остальные три можно вычислить. Знать только три угла недостаточно, ведь подобные треугольники любого размера имеют одинаковые углы; этот случай иногда обозначают УУУ, и единственного решения у него нет.

Данные называют в том порядке, в котором они встречаются при обходе треугольника. УСУ означает два угла и сторону между ними; СУС — две стороны и угол между ними. Шесть возможных конфигураций и подходящий инструмент для каждой:

Прямоугольный треугольник и любые два других элемента: синус, косинус, тангенс и теорема Пифагора.
УУС или УСУ: сумма углов, затем теорема синусов.
СУС: теорема косинусов для третьей стороны, затем оставшиеся углы.
ССС: теорема косинусов для углов.
ССУ: теорема синусов с проверкой, существует ли ноль, один или два треугольника.
УУУ: только форма, без единственного размера.

Всегда делайте рисунок и отмечайте на нём данные, прежде чем выбирать метод. Большинство ошибок возникает, когда сторону сопоставляют не с тем углом.

Прямоугольный треугольник: синус, косинус и тангенс

В прямоугольном треугольнике три тригонометрические функции связывают острый угол $\theta$ со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой.

\sin\theta = \frac{\text{прот}}{\text{гип}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{прил}}{\text{гип}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{прот}}{\text{прил}}

Пример 1: гипотенуза 10 и угол $35^\circ$

Противолежащий катет: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
Прилежащий катет: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
Другой острый угол: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Проверка: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

Пример 2: высота дерева по его тени

Дерево отбрасывает тень длиной 18 м, когда солнце стоит на $40^\circ$ над горизонтом.
Высота — катет, противолежащий углу, а тень — прилежащий катет, поэтому берём тангенс: $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ м.

Чтобы найти угол, используйте обратную функцию. В прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5 меньший острый угол равен $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ .

Два угла и сторона (УУС, УСУ)

Найдите третий угол, вычтя известные из $180^\circ$ . Тогда у вас есть все углы и одна сторона, то есть полная пара для теоремы синусов:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Пример 3 (УСУ): $A = 50^\circ$ , $B = 65^\circ$ , $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ : треугольник равнобедренный, и $b = c = 12$ без дополнительных вычислений.

В этих случаях всегда ровно одно решение, если сумма двух данных углов меньше $180^\circ$ .

Две стороны и угол между ними (СУС)

С помощью теоремы косинусов найдите сторону, противолежащую известному углу. Затем найдите второй угол. Надёжнее всего выбрать угол, противолежащий меньшей из двух исходных сторон, ведь он обязательно острый, и арксинус даёт его однозначно.

Пример 4: $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ , значит, $a \approx 19.79$ .
Так как $A$ тупой, $B$ и $C$ острые. Из $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ получаем $B \approx 28.34^\circ$ .
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
Проверка: самая длинная сторона, 19,79, лежит напротив наибольшего угла, $110^\circ$ .

Три стороны (ССС)

Сначала проверьте, выполняется ли для сторон неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Затем используйте теорему косинусов в форме для косинуса и начните с угла, противолежащего самой длинной стороне:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Пример 5: стороны 6, 8 и 9

Угол напротив 9: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ , значит, $C \approx 78.58^\circ$ .
Угол напротив 6: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ , значит, $A \approx 40.80^\circ$ .
Угол напротив 8: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
Все три угла острые, на что уже указывало $81 < 36 + 64$ .

Две стороны и угол не между ними (ССУ)

Это неоднозначный случай. Выразите неизвестный угол по теореме синусов, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ , и исследуйте результат:

Если $\sin B > 1$ , треугольника не существует.
Если $\sin B = 1$ , существует один прямоугольный треугольник.
Если $\sin B < 1$ , проверьте и $B$ , и $180^\circ - B$ . Каждое значение, оставляющее положительный третий угол, даёт допустимый треугольник.

Например, $A = 30^\circ$ , $a = 6$ и $b = 10$ дают $\sin B = \frac{5}{6}$ , то есть $B \approx 56.44^\circ$ или $123.56^\circ$ . Оба значения оставляют место для третьего угла, поэтому треугольников два. Статья о теореме синусов полностью решает оба, а также случаи, когда треугольника нет и когда он ровно один.

Углы подъёма и углы опускания

Во многих прикладных задачах описываются углы, отсчитываемые от горизонтали. Угол подъёма измеряется вверх к объекту, угол опускания — вниз. Поскольку горизонтали через наблюдателя и объект параллельны, угол опускания из A на B равен углу подъёма из B на A.

Пример 6: перепад высот дороги

Прямая дорога поднимается под углом наклона $3^\circ$ на протяжении 200 м по горизонтали. Насколько она набирает высоту?
Перепад высот $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ м.
В виде уклона это примерно 5,2 процента, так как $\tan 3^\circ \approx 0.0524$ .

Задачи с двумя лучами зрения, например когда на вершину здания смотрят из двух точек на земле, решают, сочетая прямоугольный треугольник и треугольник общего вида, часто с теоремой синусов для треугольника общего вида.

Контрольный список для каждого ответа

Сумма трёх углов равна $180^\circ$ .
Самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая — напротив наименьшего.
Каждая сторона меньше суммы двух других.
Пересчёт стороны по другой теореме даёт то же значение с точностью до округления.
Ответы округляются только в конце, с точностью, требуемой в задаче.

Когда треугольник решён, его площадь находится по формуле $\frac{1}{2}ab\sin C$ по любым двум сторонам и углу между ними. Калькулятор теоремы косинусов решает все случаи треугольников общего вида шаг за шагом, а калькулятор расстояния между двумя точками работает с треугольниками, заданными координатами.

Округление и точность

Задачи на треугольники связывают несколько вычислений в цепочку, и небольшие ошибки округления в начале могут превратиться в заметные расхождения в конце. Сохраняйте полную точность калькулятора для каждого промежуточного значения, запоминая результаты или записывая не менее четырёх значащих цифр. Округляйте только окончательные ответы, с точностью, требуемой в задаче: обычно до одного или двух знаков после запятой для углов в градусах и до разумного числа значащих цифр для длин.

Из-за округлений сумма трёх вычисленных углов может получиться $179.9^\circ$ или $180.1^\circ$ . Это не ошибка метода. Но если сумма отличается на целый градус или больше, что-то пошло не так — почти всегда сторону сопоставили не с тем углом или пропустили тупоугольное решение. Второе, независимое вычисление, например нахождение последней стороны по обеим теоремам, — самый надёжный способ подтвердить ответ.

Частые вопросы

Сколько данных нужно, чтобы решить треугольник?

Три, среди которых хотя бы одна сторона. Одни только три угла задают лишь форму. Конфигурация ССУ может дать ноль, один или два треугольника, поэтому она требует дополнительной проверки.

С какой теоремы начинать для треугольника общего вида?

Если у вас есть сторона и противолежащий ей угол, начните с теоремы синусов. В случае СУС или ССС такой пары нет, поэтому начните с теоремы косинусов.

Почему в задаче ССС сначала ищут наибольший угол?

Только наибольший угол может быть тупым. Если вычислить его через арккосинус, он будет определён верно, а два других угла гарантированно острые, так что неоднозначности не остаётся.

Можно ли решить треугольник по трём углам?

Не однозначно. Любое увеличение треугольника сохраняет те же углы: можно найти отношения сторон, но не их длины. Чтобы задать размер, нужна длина одной стороны.

Как запомнить функции в прямоугольном треугольнике?

Синус — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу, косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу, а тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий. Удобно помнить, что синус и тангенс «смотрят» на противолежащий катет, а косинус — на прилежащий, котангенс же равен прилежащему катету, делённому на противолежащий, и, кроме того, полезно знать, что тангенс равен синусу, делённому на косинус.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакция и математическая вычитка

Наша редакция пишет каждое руководство так, чтобы оно объясняло рассуждение за каждым методом, а не только ответ. Каждый разобранный пример перед публикацией проверяется движками решения сайта и автоматическими тестами, а статьи обновляются, как только меняется метод или формат теста.