Теорема косинусов

Q: Когда применяется теорема косинусов?

Когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны. В этих случаях ни одна сторона не известна вместе с противолежащим углом, поэтому начать с теоремы синусов нельзя.

Q: Как найти угол по теореме косинусов?

Выразите из формулы косинус, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), подставьте три длины сторон и возьмите арккосинус.

Q: Как связаны теорема косинусов и теорема Пифагора?

Если угол C равен ровно 90°, то cos C равен 0, и формула превращается в c² = a² + b². Теорема косинусов — общая форма, верная для любого треугольника.

Q: Что будет, если три стороны не образуют треугольник?

Калькулятор проверяет неравенство треугольника и выводит ошибку, если одна сторона не меньше суммы двух других, например для сторон 1, 2 и 5.

Q: Результаты точные или округлённые?

Если третья сторона — квадратный корень, она выводится в точной форме, например √39 или 2√19, вместе с десятичным значением. Углы даются в десятичных градусах.

Q: Как вычисляется площадь?

По формуле площадь = ½ab sin C через две стороны и угол между ними. В режиме трёх сторон угол сначала вычисляется.

Q: Может ли теорема косинусов дать два треугольника?

Нет. Две стороны с углом между ними или три стороны всегда задают ровно один треугольник. Неоднозначный случай с двумя возможными треугольниками встречается только при двух сторонах и угле, противолежащем одной из них, когда применяют теорему синусов.

О калькуляторе теоремы косинусов

Прямоугольные треугольники решаются теоремой Пифагора и простой тригонометрией, но у большинства треугольников в геодезии, навигации, технике и физике прямого угла нет. Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник; это подходящий инструмент, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны и ни одного угла.

Калькулятор разбирает оба случая. В режиме «две стороны и угол между ними» он находит третью сторону, сохраняя точный корень вроде $\sqrt{39}$ , если он есть, а затем два оставшихся угла. В режиме «три стороны» он проверяет, могут ли стороны образовать треугольник, и находит все три угла. В обоих режимах он заканчивает вычислением площади.

Что такое теорема косинусов?

В треугольнике со сторонами $a$ , $b$ и $c$ , лежащими против углов $A$ , $B$ и $C$ , теорема косинусов утверждает: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . То же соотношение верно для каждой стороны и противолежащего ей угла.

При $C = 90°$ имеем $\cos C = 0$ , и формула превращается в $c^2 = a^2 + b^2$ — теорему Пифагора. Дополнительный член $-2ab\cos C$ вносит поправку в зависимости от угла: он укорачивает $c$ , если $C$ острый, и удлиняет, если $C$ тупой, потому что косинус тупого угла отрицателен.

Как пользоваться калькулятором теоремы косинусов

Выберите режим «Две стороны и угол между ними» или «Три стороны».
Введите стороны $a$ и $b$ .
В режиме двух сторон введите угол $C$ между ними в градусах; в режиме трёх сторон введите третью сторону $c$ .
Нажмите «Решить треугольник», чтобы увидеть недостающую сторону или углы, а затем площадь.
Проверьте ответ: сумма углов должна равняться 180°, а наибольший угол должен лежать против наибольшей стороны.

Формулы

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Выражение для угла

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Сумма углов

A + B + C = 180^\circ

Площадь по двум сторонам и углу

K = \tfrac12 ab\sin C

Разобранный пример: a = 5, b = 7, C = 60°

В примере $a = 5$ , $b = 7$ , а угол между ними $C = 60°$ . Так как $\cos 60° = \frac12$ , формула даёт $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , то есть $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Затем алгоритм находит угол $A$ по теореме косинусов, выраженной через косинус, — примерно $43.898°$ , а угол $B$ по сумме углов — примерно $76.102°$ . Площадь равна $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Как мы поняли вашу задачу

Две стороны и угол между ними: находим третью сторону и остальные углы

Пошаговое решение

Подставляем в c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Извлекаем квадратный корень
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Находим угол A по преобразованной теореме косинусов
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Сумма углов треугольника равна 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Площадь по двум сторонам и углу между ними
$\text{Площадь} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Использованные формулы

Теорема косинусов
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Выражение для угла
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Площадь
$\text{Площадь} = \tfrac12 ab\sin C$

Стороны треугольника a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998, углы A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Это остроугольный разносторонний треугольник с площадью ≈ 15.155445 и периметром ≈ 18.244998.

Проверка

A + B + C = 180°.
Формула Герона даёт ту же площадь: 15.155445.
Отношения по теореме синусов: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Подробное объяснение

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

По двум сторонам и углу между ними теорема косинусов сразу даёт третью сторону. Возможен только один треугольник, так что неоднозначности нет. Когда известны все три стороны, формула, выраженная через косинус, даёт углы один за другим. Для второго угла калькулятор применяет теорему косинусов, а не теорему синусов, потому что формула с косинусом не путает острый угол со смежным с ним тупым.

Тупые углы между сторонами обрабатываются так же. Для $a = 4$ , $b = 6$ и $C = 120°$ имеем $\cos 120° = -\frac12$ , поэтому $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ и $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ — больше каждой из двух данных сторон, как и следовало ожидать.

Решение треугольника по трём сторонам

Три длины образуют треугольник, только если сумма любых двух из них больше третьей: это неравенство треугольника. Калькулятор проверяет его в первую очередь: стороны 1, 2 и 5 отклоняются, потому что $1 + 2 < 5$ . Для допустимых сторон он вычисляет угол $C$ , затем угол $A$ , оба по формуле, выраженной через косинус, и находит $B$ по сумме углов. Если ввести наибольшую сторону как $c$ , первый вычисленный угол покажет, остроугольный ли треугольник, прямоугольный или тупоугольный: стороны 3, 4 и 5 дают $C = 90°$ .