Тригонометрические тождества — калькулятор для доказательства и упрощения

О калькуляторе тригонометрических тождеств

Доказательство тригонометрических тождеств — одно из самых нелюбимых заданий старших классов. Формул для запоминания десятки, очевидного первого шага нет, а доказательство может полстраницы ходить по кругу, прежде чем получится или развалится. Многие ученики знают все формулы и всё равно застревают, потому что не видят, какая из них подходит следующей.

Калькулятор заменяет перебор одной и той же надёжной стратегией. Он записывает обе части только через $\sin x$ и $\cos x$ , раскрывает кратные углы вроде $2x$ и $3x$ , переносит всё в одну часть с общим знаменателем, а затем заменяет каждый $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ . Если числитель обращается в ноль, тождество доказано; иначе равенство тождеством не является, и калькулятор показывает конкретный угол, при котором части различаются.

Можно ввести и выражение без знака равенства. Тогда калькулятор упрощает его тем же методом и распознаёт известные результаты; например, $\tan x + \cot x$ превращается в $\sec x \csc x$ . Метод механический, и в этом весь смысл: разобравшись, как он работает, вы сможете вручную применять его к любому тождеству из задачника.

Что такое тригонометрическое тождество?

Тригонометрическое тождество — это равенство тригонометрических функций, верное при каждом значении переменной, при котором обе части определены. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — тождество; $\sin x = \frac12$ — уравнение, которому удовлетворяют лишь некоторые углы, поэтому тождеством оно не является.

Оговорка «при котором обе части определены» важна. $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ — тождество, хотя ни одна из частей не существует при $x = 90°$ , ведь равенство верно для всех углов, при которых выражения имеют смысл. Поэтому доказательство показывает, что части совпадают там, где определены, а не при каждом действительном числе.

Тождества — инструменты, а не самоцель. С их помощью упрощают выражения перед интегрированием, решают тригонометрические уравнения, преобразуют сигналы в физике и технике и превращают произведения синусов и косинусов в суммы. Умение увидеть, что два непохожих выражения на самом деле равны, полезно во всём математическом анализе.

Как пользоваться калькулятором тригонометрических тождеств

Чтобы доказать тождество, введите равенство ровно с одним знаком равенства, например 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2.
Чтобы упростить, введите выражение без знака равенства, например tan(x) + cot(x).
Используйте одну переменную, обычно $x$ . Функции записывайте обычными сокращениями (sin для синуса и cot для котангенса), а степени — в виде sin(x)^2 или sin^2(x).
Допускаются кратные углы вроде 2x и 3x, а также сдвиги на величину, кратную pi/2, например x + pi/2.
Нажмите «Упростить / доказать» и прочитайте шаги; если тождество неверно, посмотрите на угол контрпримера.

Формулы

Основное тригонометрическое тождество

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Формулы частного

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Формулы обратных величин

\sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

Формулы двойного угла

\sin 2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Сдвиг на четверть оборота

\sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x,\quad \cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x

Разобранный пример: Доказать 1 + tan²x = sec²x

В примере доказывается $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ . Левая часть превращается в $1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ , а правая — в $\frac{1}{\cos^2 x}$ : теперь все функции — синусы или косинусы.

Вычитая части с общим знаменателем $\cos^2 x$ , получаем числитель $\cos^2 x + \sin^2 x - 1$ . После замены $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ все члены взаимно уничтожаются: числитель тождественно равен нулю, и тождество верно всегда, когда $\cos x \neq 0$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

1+{\tan\left( x\right)}^{2} \equiv {\sec\left( x\right)}^{2}

Как мы поняли вашу задачу

Докажем тригонометрическое тождество

1+{\tan\left( x\right)}^{2} = {\sec\left( x\right)}^{2}

Пошаговое решение

Выражаем всё через sin x и cos x
Использованные тождества:
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
Левая часть через синус и косинус
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Правая часть через синус и косинус
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю
Тождество верно тогда и только тогда, когда этот числитель равен нулю при любом значении переменной.
$\text{левая часть} - \text{правая часть} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
Заменяем каждый cos²x на 1 − sin²x и приводим подобные
$N = 0$
Числитель тождественно равен нулю
После применения sin² + cos² = 1 все члены взаимно уничтожились, поэтому обе части равны везде, где они определены.

Использованные формулы

Основное тригонометрическое тождество
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
Формулы частного и обратных величин
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta}$
Формулы двойного угла
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,\ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

Записав обе части через синус и косинус и заменив cos² на 1 − sin², получаем, что разность частей равна ровно 0, поэтому 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2 выполняется при каждом x, при котором обе части определены.

Проверка

Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Подробное объяснение

Стратегия «синус и косинус»

Любую тригонометрическую функцию можно записать через синус и косинус; сведя всё к этим двум функциям, мы заставляем обе части тождества говорить на одном языке. Тангенс, котангенс, секанс и косеканс становятся дробями, и задача сводится к алгебраическим дробям от $\sin x$ и $\cos x$ .

Когда обе части записаны дробями, вычитание и приведение к общему знаменателю превращают тождество в одно утверждение: некоторый числитель должен быть равен нулю. Знаменатели дальше исследовать не нужно, ведь они лишь показывают, где исходные выражения не были определены.

Последнее препятствие в том, что $\sin x$ и $\cos x$ не независимы: они связаны равенством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Заменяя каждую чётную степень косинуса степенями $1 - \sin^2 x$ , мы устраняем эту зависимость для чётных степеней. После приведения подобных у верного тождества ничего не остаётся. Поэтому метод всегда даёт однозначный ответ для допустимых выражений, в отличие от перебора, при котором берут одну часть и преобразуют её шаг за шагом.

Кратные углы и сдвиги

Углы вроде $2x$ и $3x$ сначала выражаются через функции самого $x$ . Формулы двойного угла дают $\sin 2x$ и $\cos 2x$ , а повторное применение формул сложения даёт $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ . Калькулятор проверяет это тождество, как и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ , точно тем же способом, что и любой другой ввод.

Сдвиги на величину, кратную $\frac{\pi}{2}$ , обрабатываются формулами приведения. В общем случае калькулятор принимает любой угол вида $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ с целыми $k$ и $m$ . Половинные углы вроде $\frac{x}{2}$ и произвольные сдвиги вроде $x + 1$ не сводятся к многочленам от $\sin x$ и $\cos x$ , поэтому калькулятор отклоняет их с объяснением, а не выдаёт ненадёжное доказательство.

Калькулятор работает с одной переменной. Формула сложения вроде $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ содержит два независимых угла и выходит за пределы его возможностей; он сообщает об этом, а не пытается её доказать.

Как опровергнуть равенство

Если числитель не сводится к нулю, равенство не является тождеством. Чтобы это было наглядно, калькулятор вычисляет обе части при контрольном угле и показывает, что они различны. Для классической ошибки $\sin 2x = 2\sin x$ он указывает, что при $x = 30°$ левая часть примерно равна $0.866$ , а правая — $1$ .

Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть тождество, но никакое количество подходящих примеров не может его доказать. Два выражения могут случайно совпадать при многих углах. Поэтому доказательство калькулятора алгебраическое, и поэтому проверка нескольких значений по графику — это контроль, а не доказательство.

Упрощение выражений

Без знака равенства калькулятор записывает выражение через синус и косинус, приводит всё к одной дроби, применяет основное тригонометрическое тождество и сокращает общие множители. Затем он сравнивает результат с известными формами. Для $\tan x + \cot x$ дробь $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ превращается в $\frac{1}{\sin x\cos x}$ , которую он узнаёт как $\sec x\csc x$ .

В тригонометрии почти никогда не бывает единственного правильного упрощённого вида. $\sec x\csc x$ , $\frac{1}{\sin x\cos x}$ и $\frac{2}{\sin 2x}$ равносильны. Калькулятор выбирает привычную компактную форму, а шаги показывают промежуточные дроби, так что можно остановиться на том варианте, который требует ваш курс.

Как записать доказательство вручную

Многие учителя требуют преобразовывать одну часть в другую, а не вычитать части, потому что одновременная работа с обеими частями может скрыть недопустимые шаги вроде возведения в квадрат. Шаги калькулятора легко переложить в такой стиль. Начните с более сложной части, запишите её через синус и косинус, приведите дроби к общему знаменателю, примените $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ в нужном направлении и упрощайте, пока не придёте к другой части.

Полезные приёмы — домножение на сопряжённое выражение, например при доказательстве $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ , разложение разности квадратов, как в $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ , и разбиение дроби на несколько слагаемых. Калькулятор подтверждает, что оба тождества верны, так что вы можете сосредоточиться на ясном изложении рассуждений.

Типичные ошибки

Путать $\sin 2x$ с $2\sin x$ ; формула двойного угла даёт $2\sin x\cos x$ .
Писать $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ ; тригонометрические функции не аддитивны.
Сокращать слагаемые в суммах, например упрощать $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ до $1 + \cos x$ .
Возводить обе части в квадрат во время доказательства, из-за чего ложное утверждение может стать верным.
Проверить несколько углов и счесть тождество доказанным.

Советы

Начинайте с более сложной части: там есть что упрощать.
Сводите всё к синусу и косинусу, если другой шаг не напрашивается.
После приведения дробей ищите в числителе скрытое $\sin^2 x + \cos^2 x$ .
Домножайте на сопряжённое выражение, если в знаменателе стоит $1 \pm \sin x$ или $1 \pm \cos x$ .
Прежде чем тратить время на доказательство, проверьте тождество при угле вроде $30°$ .
Воспользуйтесь калькулятором единичной окружности, чтобы быстро вычислить обе части при особых углах.

Частые вопросы

Как калькулятор доказывает тождество?

Он записывает обе части через синус и косинус, вычитает их с общим знаменателем и заменяет cos²x на 1 − sin²x. Если числитель обращается в ноль, тождество верно везде, где обе части определены.

Что будет, если моё равенство не является тождеством?

Калькулятор сообщит об этом и приведёт контрпример — угол, при котором части имеют разные значения, например x = 30° для sin 2x = 2 sin x.

Упрощает ли он тригонометрическое выражение без знака равенства?

Да. Введите только выражение. Оно приводится к одной дроби, упрощается с помощью sin²x + cos²x = 1 и сравнивается с известной формой; так tan x + cot x превращается в sec x csc x.

Какие углы допускаются?

Углы вида kx плюс величина, кратная π/2, с целым k, например 2x, 3x или x + π/2. Половинные углы вроде x/2 и выражения с двумя переменными не допускаются, и калькулятор объясняет почему.

Почему в ответе сказано «где обе части определены»?

Некоторые тождества содержат функции, не определённые при определённых углах, например tan x при 90°. Тождество должно выполняться только там, где существуют обе части.

Докажет ли он sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y?

Нет. В этой формуле две независимые переменные, а калькулятор работает только с одной. Он сообщит об этом, а не станет пытаться доказать её.

Как записать квадрат тригонометрической функции?

Подходит и sin(x)^2, и учебная запись sin^2(x); калькулятор понимает обе как квадрат sin x, синуса x. То же верно для остальных пяти функций.

Достаточно ли взглянуть на графики, чтобы доказать тождество?

Нет. Совпадающие графики убедительно говорят в пользу тождества, но не доказывают его. Для этого нужно алгебраическое обоснование, как у калькулятора; зато одного расхождения достаточно, чтобы его опровергнуть.

Попробуйте калькулятор тригонометрических тождеств

Введите тождество, чтобы доказать или опровергнуть его, или выражение, чтобы упростить его по шагам.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор тригонометрических тождеств