Калькулятор НОК

Q: Как найти НОК трёх чисел?

Объединяйте числа попарно: lcm(8, 12) = 24, а затем lcm(24, 15) = 120. Или возьмите каждый простой множитель в наибольшей степени: 2^3 × 3 × 5 = 120.

О калькуляторе НОК

Наименьшее общее кратное набора целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из них. При сложении дробей оно служит наименьшим общим знаменателем, а во многих задачах о расписаниях и повторяющихся событиях даёт ответ.

Этот инструмент строит НОК из разложения на простые множители и подтверждает его тождеством $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}$ .

Что такое наименьшее общее кратное?

Кратные числа получаются умножением его на 1, 2, 3 и так далее: кратные 12 — это 12, 24, 36, 48 и т. д., кратные 18 — это 18, 36, 54 и т. д. Общее кратное есть в обоих списках, а наименьшее общее кратное — первое из них, здесь 36.

У двух натуральных чисел бесконечно много общих кратных, и все они кратны НОК. НОК никогда не меньше наибольшего числа списка и никогда не больше произведения всех чисел; он равен этому произведению, когда у чисел нет общих простых множителей.

Как пользоваться калькулятором НОК

Введите от двух до десяти целых чисел через запятую или пробел.
Нажмите «Найти НОК».
Посмотрите разложение каждого числа на простые множители и наибольшую степень каждого простого множителя, взятую в ответ.

Формулы

Через разложение на простые множители

\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Через НОД

\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Больше двух чисел

\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Разобранный пример: 12, 18

В разобранном примере ищется НОК чисел 12 и 18. Разложения на простые множители: $12 = 2^2 \times 3$ и $18 = 2 \times 3^2$ . Так как $\gcd(12, 18) = 6$ , тождество даёт $\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ . Если взять каждый простой множитель в наибольшей степени, $2^2 \times 3^2 = 36$ , получится тот же ответ, а проверка подтверждает, что 36 делится без остатка и на 12, и на 18.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

36

Как мы поняли вашу задачу

Находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел.

Пошаговое решение

Разложение каждого числа на простые множители
$12 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}$
Объединяем 12 и 18 с помощью НОД
$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36$
Проверяем через простые множители
Берём каждый встречающийся простой множитель в наибольшей степени.
$2^{2} \times 3^{2} = 36$

Использованные формулы

НОК через НОД
$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}$

36 — наименьшее положительное число, которое делится без остатка на каждое из введённых чисел.

Проверка

36 ÷ 12 = 3
36 ÷ 18 = 2

Подробное объяснение

Почему берутся наибольшие степени

Число, кратное 12, должно содержать среди простых множителей $2^2$ и 3, а число, кратное 18, — 2 и $3^2$ . Чтобы делиться на оба числа, нужно $2^2$ , чтобы покрыть 12, и $3^2$ , чтобы покрыть 18, и больше ничего. Поэтому взять каждый простой множитель в наибольшей степени — минимальный выбор, покрывающий все числа, а это и есть определение наименьшего общего кратного.

НОК для дробей и расписаний

Наименьший общий знаменатель двух дробей — это НОК их знаменателей. Чтобы вычислить $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$ , обе дроби приводят к знаменателю 36, и числа получаются меньше, чем при знаменателе $12 \times 18 = 216$ . НОК решает и задачи о расписаниях: если один автобус отправляется каждые 8 минут, второй каждые 12, а третий каждые 15, то снова одновременно они отправятся через $\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120$ минут.

Если в списке есть 0, калькулятор по соглашению возвращает 0 и объясняет, что 0 кратен любому целому числу, ведь в этом случае общего натурального кратного нет.

Как связаны НОК и НОД

Для двух натуральных чисел произведение НОД и НОК всегда равно произведению самих чисел. Причина видна из разложения на простые множители: для каждого простого множителя НОД берёт меньший показатель, а НОК — больший, так что вместе они используют каждый показатель ровно один раз. Для 12 и 18 НОД 6 и НОК 36 в произведении дают 216, то есть $12 \times 18$ . Это тождество нельзя напрямую перенести на три и более чисел, поэтому калькулятор объединяет их попарно.

Типичные ошибки

Перемножать все числа: так получается общее кратное, но часто не наименьшее.
Брать каждый простой множитель в наименьшей степени; для НОК нужна наибольшая.
Путать НОК и НОД: НОК не меньше наибольшего из чисел.
Выписывать только кратные наибольшего числа и брать первое, не проверив его делимость на остальные.

Советы

Если одно число кратно всем остальным, оно и есть НОК.
Если числа взаимно простые, НОК равен их произведению.
Используйте НОК знаменателей как наименьший общий знаменатель при сложении дробей.
Проверьте НОК, разделив его на каждое число: все частные должны быть целыми.
Для двух чисел сначала найдите НОД; разделить их произведение на этот НОД обычно быстрее всего.
Для маленьких чисел выпишите несколько кратных наибольшего числа и проверьте каждое на делимость на остальные; первое подходящее и есть НОК.

Частые вопросы

Что такое наименьшее общее кратное?

Это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из чисел. НОК чисел 4, 6 и 10 равен 60.

Как связаны НОК и НОД?

Для двух натуральных чисел их произведение равно произведению НОД и НОК, поэтому $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}$ .

Когда нужен НОК?

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, а также в задачах о том, когда повторяющиеся события снова совпадут.

Чему равен НОК, если одно из чисел равно 0?

Ноль кратен любому числу, но НОК определяется как наименьшее положительное общее кратное, поэтому по соглашению $\operatorname{lcm}(a, 0) = 0$ .

Может ли НОК быть меньше самих чисел?

Нет. НОК всегда не меньше наибольшего модуля в списке (если в нём нет 0).

Принимает ли калькулятор отрицательные числа?

Да. Знак не меняет кратных: НОК находят по модулям чисел и записывают положительным числом.

Как найти НОК трёх чисел?

Объединяйте числа попарно: $\operatorname{lcm}(8, 12) = 24$ , а затем $\operatorname{lcm}(24, 15) = 120$ . Или возьмите каждый простой множитель в наибольшей степени: $2^3 \times 3 \times 5 = 120$ .

Чем НОК отличается от наименьшего общего знаменателя?

Наименьший общий знаменатель — это просто НОК знаменателей дробей. Для $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$ он равен $\operatorname{lcm}(12, 18) = 36$ .

Попробуйте калькулятор НОК

Введите свои числа и посмотрите разложение на простые множители и проверку.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

О калькуляторе НОК

Что такое наименьшее общее кратное?

Как пользоваться калькулятором НОК

Формулы

Через разложение на простые множители

Через НОД

Больше двух чисел

Разобранный пример: 12, 18

Ответ

Как мы поняли вашу задачу

Пошаговое решение

Использованные формулы

Проверка

Подробное объяснение

Почему берутся наибольшие степени

НОК для дробей и расписаний

Как связаны НОК и НОД

Типичные ошибки

Советы

Частые вопросы

Что такое наименьшее общее кратное?

Как связаны НОК и НОД?

Когда нужен НОК?

Чему равен НОК, если одно из чисел равно 0?

Может ли НОК быть меньше самих чисел?

Принимает ли калькулятор отрицательные числа?

Как найти НОК трёх чисел?

Чем НОК отличается от наименьшего общего знаменателя?

Попробуйте калькулятор НОК

Другие математические калькуляторы