Калькулятор дробей

О калькуляторе дробей

Дробь $\frac{a}{b}$ означает $a$ равных частей целого, разделённого на $b$ частей. Чтобы складывать и вычитать дроби, нужен общий знаменатель, а при умножении и делении работают прямо с числителями и знаменателями.

Калькулятор читает целое выражение вроде $1\tfrac12 + \tfrac{3}{4} \times \tfrac{2}{5}$ , соблюдает порядок действий (умножение и деление раньше сложения и вычитания) и хранит каждое промежуточное значение в виде точной дроби, так что ошибок округления не возникает.

Что такое дробь?

Дробь — это число, записанное как одно целое число над другим, $\frac{a}{b}$ , где $b \neq 0$ . Нижнее число, знаменатель, показывает, на сколько равных частей разделено целое; верхнее, числитель, — сколько таких частей взято. Так, $\frac34$ — это три части целого, разделённого на четыре.

Дробь — это ещё и деление: $\frac34$ — то же число, что и $3 \div 4 = 0.75$ . Если числитель меньше знаменателя, дробь правильная и лежит между 0 и 1. Если больше, дробь неправильная, например $\frac{7}{4}$ , и её можно записать смешанным числом $1\tfrac34$ . Одно и то же значение выражают многие дроби: $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ и $\frac{50}{100}$ равны $\frac12$ , а дробь, у числителя и знаменателя которой больше нет общих делителей, называется несократимой.

Как пользоваться калькулятором дробей

Введите выражение, используя / для каждой дробной черты, например 2/3 + 5/6.
Смешанное число записывайте с пробелом между целой частью и дробью: 1 1/2.
Между дробями используйте +, −, * или × и ÷. Скобки допускаются.
Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть общий знаменатель, получившийся числитель и сокращённый ответ.

Формулы

Сложение дробей

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

На практике наименьший общий знаменатель сохраняет числа небольшими.

Умножение дробей

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Деление дробей

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Умножаем на дробь, обратную делителю.

Сокращение дробей

\frac{a}{b} = \frac{a \div g}{b \div g},\quad g = \gcd(a, b)

Разобранный пример: 2/3 + 5/6

В разобранном примере складываются $\frac23$ и $\frac56$ . Знаменатели разные, поэтому калькулятор сначала находит наименьший общий знаменатель 6 и приводит $\frac23$ к $\frac46$ . Сумма числителей даёт $\frac96$ ; у числителя и знаменателя есть общий делитель 3, и после сокращения остаётся $\frac32$ , то есть смешанное число $1\tfrac12$ . Проверка десятичной дробью, 1,5, подтверждает ответ.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\frac{3}{2}

Как мы поняли вашу задачу

Точные вычисления с дробями (результат всегда несократимый).

Пошаговое решение

Приводим обе дроби к наименьшему общему знаменателю
Наименьший общий знаменатель чисел 3 и 6 равен 6.
$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6}$
Складываем числители, знаменатель оставляем прежним
$\frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$
Сокращаем
Делим числитель и знаменатель на их НОД, равный 3.
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
Ответ в виде несократимой дроби
$\frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}$

Использованные формулы

Сложение
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Умножение
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Деление
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

При сложении и вычитании дроби приводятся к общему знаменателю, при умножении числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель, а при делении первая дробь умножается на дробь, обратную второй. Результат сокращается на наибольший общий делитель.

Проверка

Проверка десятичной дробью: 3/2 ≈ 1.5
В виде смешанного числа: 1 1/2

Подробное объяснение

Зачем при сложении нужен общий знаменатель

Складывать можно только одинаковые доли. Трети и шестые доли разного размера, поэтому $\frac23 + \frac56$ можно вычислить лишь после того, как обе дроби выражены в шестых долях. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, её значение не изменится; именно это приведение и позволяет переписать дробь. Берут наименьший общий знаменатель, то есть наименьшее общее кратное знаменателей, а не просто их произведение: так числа остаются небольшими, а в конце часто не приходится долго сокращать.

Умножение и деление

При умножении общий знаменатель не нужен: числитель умножают на числитель, а знаменатель на знаменатель. Взять $\frac23$ от $\frac34$ — значит взять две трети от трёх четвертей, то есть $\frac{6}{12} = \frac12$ . Деление отвечает на вопрос, сколько раз делитель укладывается в делимом, и это то же самое, что умножение на обратную дробь. Для $\frac34 \div \frac25$ калькулятор записывает задачу как $\frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8}$ , то есть $1\tfrac78$ .

Смешанные числа, десятичные дроби и длинные выражения

Перед вычислением смешанные числа переводятся в неправильные дроби, а десятичные — в точные обыкновенные дроби: так $0.25 + \frac13$ превращается в $\frac14 + \frac13 = \frac{7}{12}$ , а не в округлённую десятичную дробь. В выражении вроде $1\tfrac12 - \frac34 \times \frac25$ сначала выполняется умножение, которое даёт $\frac{3}{10}$ ; затем вычитание даёт $\frac{6}{5}$ . Поскольку каждое промежуточное значение точное, точен и окончательный ответ.

Типичные ошибки

Складывать знаменатели: $\frac12 + \frac13$ равно $\frac56$ , а не $\frac25$ .
Забывать перевернуть вторую дробь при делении.
Читать $1\tfrac12$ как $1 \times \tfrac12$ ; смешанное число означает $1 + \tfrac12$ .
Не сокращать ответ, например оставлять $\frac{6}{8}$ вместо $\frac34$ .
Умножать крест-накрест при сложении; перекрёстное умножение служит для сравнения дробей или решения пропорций, а не для сложения.
Сокращать слагаемые, например зачёркивать 3 в $\frac{3 + 1}{3}$ .

Советы

Сокращайте общие множители до умножения, чтобы числа оставались небольшими.
Перед умножением или делением переводите смешанные числа в неправильные дроби.
Проверяйте ответ, переводя обе части в десятичные дроби.
Чтобы сравнить две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с положительными знаменателями, сравните $ad$ и $bc$ .
Сначала прикиньте: $\frac23 + \frac56$ чуть меньше, чем $\frac12 + 1$ , так что ответ около 1,5 правдоподобен.
Сократите каждую дробь до начала вычислений: с меньшими числами общий знаменатель найти проще.

Частые вопросы

Как сложить дроби с разными знаменателями?

Приведите обе дроби к наименьшему общему знаменателю, сложите числители и сократите. Для $\frac23 + \frac56$ общий знаменатель равен 6, и получается $\frac46 + \frac56 = \frac96 = \frac32$ .

Как ввести смешанное число?

Запишите целую часть, пробел и дробь, например 2 3/4. Перед вычислением калькулятор переведёт её в $\frac{11}{4}$ .

Можно ли смешивать десятичные и обыкновенные дроби?

Да. Десятичная дробь вроде 0.25 сначала переводится в точную дробь $\frac14$ , поэтому ответ остаётся точным.

Почему ответ показан и неправильной дробью, и смешанным числом?

Обе формы выражают одно и то же значение. Неправильные дроби удобнее для дальнейших вычислений в алгебре, а смешанные числа легче представить.

Что будет, если разделить на ноль?

Деление на дробь, равную нулю, не определено: калькулятор останавливается и показывает, какая часть выражения вызвала ошибку.

Соблюдает ли калькулятор порядок действий?

Да. Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, а выражения в скобках вычисляются первыми.

Как разделить одну дробь на другую?

Оставьте первую дробь, замените деление умножением и переверните вторую дробь. $\frac34 \div \frac25 = \frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8} = 1\tfrac78$ .

Как перевести неправильную дробь в смешанное число?

Разделите числитель на знаменатель. Неполное частное — целая часть, а остаток записывается над прежним знаменателем: $\frac{15}{8}$ даёт частное 1 и остаток 7, то есть $1\tfrac78$ .

Как перевести дробь в десятичную дробь или проценты?

Разделите числитель на знаменатель, чтобы получить десятичную дробь, а затем умножьте на 100, чтобы получить проценты. $\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$ . Для каждого ответа калькулятор показывает десятичное значение для проверки.

Попробуйте калькулятор дробей

Введите свои дроби и проследите каждый шаг вычислений.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель