Руководства, объясняющие метод решения самых распространённых задач, с разобранными примерами, которые можно проверить с помощью калькуляторов.
Алгебра
Линейное уравнение решают, отменяя в обратном порядке всё, что было сделано с неизвестным, и всё время сохраняя равенство частей. Это руководство превращает идею в алгоритм из пяти шагов и разбирает все распространённые варианты.
Алгебра
Разложение на множители быстрее всего, когда оно получается, выделение полного квадрата объясняет, откуда берётся формула, а формула корней работает всегда. Вот как выбрать подходящий способ, с проверкой в каждом примере.
Алгебра
Разложение на множители — это раскрытие скобок наоборот. Всегда действуйте по одному и тому же алгоритму, начиная с общего множителя, и почти любой многочлен из курса алгебры распадётся на простые множители.
Алгебра
Система уравнений требует значений, которые удовлетворяют всем уравнениям одновременно. Подстановка и сложение работают для любой линейной системы; искусство в том, чтобы выбрать способ с наименьшим объёмом вычислений.
Алгебра
Упростить — значит переписать выражение в равносильной, более короткой форме, не меняя его значения ни при одном допустимом значении переменной. Немногие правила в разумном порядке покрывают почти все случаи.
Алгебра
Неравенство решают почти как уравнение, но с одним дополнительным правилом и другим видом ответа: множеством значений вместо одного числа. Это руководство разбирает все распространённые случаи.
Алгебра
Выделение полного квадрата записывает $x^2 + bx$ как полный квадрат минус константа. Этот приём решает любое квадратное уравнение, даёт вершину параболы, приводит к формуле корней и снова встречается в задачах об окружностях и в математическом анализе.
Функции
Логарифм отвечает на один-единственный вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число? Все правила и приёмы в этом руководстве вытекают из этой идеи.
Функции
Область определения — это множество значений, которые функция принимает на входе; множество значений — это всё, что она может выдать. Область определения находят, отыскивая запрещённые значения; множество значений — выясняя, какие значения действительно достигаются.
Функции
Композиция функций означает, что выход одной функции используется как вход другой. Так из простых составных частей получаются сложные формулы, а умение узнавать эти части необходимо для обратных функций и для правила дифференцирования сложной функции в математическом анализе.
Функции
Обратная функция отменяет то, что делает исходная. Если $f$ переводит 2 в 7, то обратная функция переводит 7 обратно в 2. В этом руководстве объясняется, когда обратная функция существует, как найти её формулу и как её проверить.
Функции
После прямых и парабол многочлены — простейшие функции, и их графики подчиняются нескольким надёжным правилам. Зная степень, старший коэффициент и корни, можно от руки построить эскиз почти любого многочлена.
Тригонометрия
Единичная окружность превращает тригонометрию из списка заученных значений в картинку, которую можно читать. Каждому углу соответствует точка на окружности, и координаты этой точки — это косинус и синус угла.
Тригонометрия
Тригонометрическое тождество — это равенство, верное для любого угла, при котором определены обе его части. Короткого списка формул, выводимых из единичной окружности, достаточно, чтобы упрощать выражения, находить точные значения, доказывать утверждения и решать уравнения.
Тригонометрия
Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике каждая сторона, делённая на синус противолежащего угла, даёт одно и то же число. С её помощью решают треугольник, когда известны два угла и сторона, а при некоторой осторожности — и когда известны две стороны и угол, противолежащий одной из них.
Тригонометрия
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник. С её помощью находят третью сторону, когда известны две стороны и угол между ними, и любой угол, когда известны все три стороны.
Тригонометрия
Решить треугольник — значит по известным данным найти все три стороны и все три угла. Нужный инструмент зависит от того, какие три элемента вам известны, поэтому первый шаг всегда — определить случай.
Математический анализ
Предел описывает значение, к которому приближается функция, когда её переменная стремится к некоторому числу, независимо от того, достигает функция этого значения или нет. Пределы лежат в основе производных, интегралов и рядов: уверенно их вычислять — первый настоящий навык математического анализа.
Математический анализ
Производная функции показывает, как быстро меняется её значение при изменении переменной, причём в конкретный момент. Графически это угловой коэффициент касательной; алгебраически — предел средних скоростей изменения на всё более коротких промежутках.
Математический анализ
Вычислять производные по определению через предел утомительно. Небольшой набор правил, каждое из которых один раз доказано из этого определения, позволяет продифференцировать почти любую формулу за несколько строк. Это руководство представляет каждое правило, объясняет, почему оно работает, и показывает, как их сочетать.
Математический анализ
Интеграл складывает бесконечно много крошечных частей в одну общую величину: площадь, путь, объём или любую другую накопленную величину. Основная теорема анализа связывает это суммирование с первообразными, и именно это позволяет вычислять интегралы на практике.
Математический анализ
Неопределённый интеграл — это семейство функций, первообразных, записываемое с константой $+ C$. Определённый интеграл имеет пределы интегрирования и даёт одно число: площадь со знаком или накопленную общую величину. Основная теорема анализа позволяет вычислять второй с помощью первого.
Математический анализ
Дифференцирование неявной функции даёт dy/dx для кривых, заданных уравнением с x и y, без предварительного выражения y. Обе части дифференцируют по x, считая y функцией от x, чтобы применить правило сложной функции, а в конце выражают dy/dx.
Математический анализ
Ряд Тейлора записывает функцию как бесконечный многочлен, построенный по её производным в одной точке. Если оборвать ряд после нескольких членов, получится многочлен Тейлора — легко вычисляемое приближение, погрешность которого можно оценить.
Математический анализ
Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Вместо того чтобы вычислять это число, признаки сходимости решают, существует ли оно, и каждый подходит к определённому виду членов ряда. Главное умение — распознать, какой признак подходит к какому ряду.
Линейная алгебра
Матрица — это прямоугольная таблица чисел из строк и столбцов. Матрицы компактно хранят данные и, главное, представляют линейные отображения и системы уравнений. Это руководство знакомит с обозначениями и основными операциями, уделяя особое внимание умножению матриц.
Линейная алгебра
Определитель — это одно число, вычисляемое по квадратной матрице. Он показывает, обратима ли матрица, как она масштабирует площади и объёмы и меняет ли ориентацию. В этом руководстве собраны все распространённые способы вычисления с подробными примерами.
Линейная алгебра
Обратная к квадратной матрице отменяет действие матрицы, как деление отменяет умножение. Матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю. Это руководство показывает быструю формулу для матриц 2 на 2, общий метод Гаусса — Жордана и то, как обратные матрицы решают системы уравнений.
Линейная алгебра
Собственный вектор матрицы — это направление, которое матрица только растягивает или обращает, никогда не поворачивая, а собственное значение — коэффициент растяжения. Они раскрывают суть поведения матрицы и лежат в основе диагонализации, анализа устойчивости, цепей Маркова и сжатия данных.
Линейная алгебра
Скалярное произведение сопоставляет двум векторам одно число, которое показывает, насколько они направлены в одну сторону. С его помощью находят угол между векторами, проверяют, ортогональны ли они, проецируют один вектор на другой и вычисляют в физике работу силы.
Линейная алгебра
Векторное произведение перемножает два вектора в пространстве и даёт новый вектор, ортогональный обоим. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, поэтому оно служит стандартным инструментом для векторов нормали, площадей, моментов сил и объёмов.
Статистика
Среднее, медиана и мода описывают центр набора данных, а размах и стандартное отклонение — его разброс. Умение вычислять каждую из этих мер и понимать, когда она даёт честную сводку, — основа статистики.
Статистика
Стандартное отклонение показывает, насколько далеко данные обычно отстоят от среднего. Это руководство пошагово показывает вычисление, объясняет, когда делить на n, а когда на n минус 1, и как затем толковать результат.
Статистика
Вероятность измеряет шанс события по шкале от 0 до 1. Несколько правил — для противоположного события, объединения, независимых и зависимых событий и условной вероятности — решают большинство задач, а знание классических ловушек помогает избежать большинства ошибок.
Статистика
Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение выше или ниже среднего. С её помощью можно сравнивать значения в разных шкалах и, если данные распределены нормально, переводить любое значение в процентиль или вероятность.
Статистика
Перестановки и размещения считают расстановки, в которых порядок важен, а сочетания — выборки, в которых он не играет роли. Все они вытекают из правила произведения и факториалов и стоят за вероятностными расчётами — от карточных игр до лотереи.
Советы по учёбе
Математику учат делая, а не читая. Короткие регулярные занятия с активным решением задач, распределённые во времени и смешанные по темам, вместе с пониманием каждого метода формируют навыки, которые сохраняются до экзамена и намного дольше.
Советы по учёбе
Ошибки по невнимательности почти никогда не бывают случайными. Большинство из них попадает в несколько предсказуемых категорий — потерянные минусы, неверно применённый распределительный закон, неправильно прочитанные условия, — и для каждой категории есть своя привычка, которая её предотвращает.
Советы по учёбе
Почти любой ответ по математике можно проверить без листа с ответами. Подстановка в уравнение, обратный ход, прикидка, проверка частных значений и контроль единиц находят подавляющее большинство ошибок за малую долю времени, потраченного на саму задачу.
Советы по учёбе
Хорошая подготовка начинается за несколько недель. Выясните, что будет на экзамене, определите свои слабые темы, тренируйтесь на прошлых вариантах на время, спланируйте время и используйте последние дни для повторения, а не для изучения нового.
Советы по учёбе
Не всякая практика одинаково ценна. Эффективно тренироваться в математике — значит целенаправленно работать над слабыми местами, перемешивать типы задач, распределять занятия, менять форму заданий и сразу исправлять ошибки, чтобы каждый час оставлял прочный навык, а не мимолётное ощущение знакомства.
Советы по учёбе
Математический раздел цифрового SAT включает 44 задания в двух адаптивных модулях по 35 минут, и калькулятор разрешён на всём его протяжении. Проверяются алгебра, математика повышенного уровня, решение задач и анализ данных, а также геометрия и тригонометрия; вознаграждаются уверенная алгебра, умелое использование калькулятора и ровный темп.
Советы по учёбе
Математический раздел нового ACT включает 45 заданий за 50 минут, у каждого четыре варианта ответа, а разрешённым калькулятором можно пользоваться всё время. Он охватывает всё от арифметики до тригонометрии, поэтому широкая уверенная база и ровный темп важнее любой отдельной продвинутой темы.
Советы по учёбе
Экзамены AP по математическому анализу состоят из части с выбором ответа и части с развёрнутыми ответами, каждая из которых даёт половину оценки, а внутри них есть секции с калькулятором и без него. Успех зависит от уверенного дифференцирования и интегрирования, чётких обоснований и практики на развёрнутых заданиях прошлых лет.
Каждая статья этого блога раскрывает одну тему от начала до конца. Она начинается с определения или правила, приводит главную формулу, а затем строка за строкой решает несколько полных примеров, чтобы вы видели, почему допустим каждый шаг, а не только каким получается ответ. В конце каждого руководства — ответы на вопросы, которые учащиеся чаще всего задают по этой теме.
Статьи разделены на семь рубрик, повторяющих привычную последовательность курса старшей школы и первых курсов вуза: алгебра, функции, тригонометрия, математический анализ, линейная алгебра, статистика и советы по учёбе. Если вы готовитесь по конкретному предмету, начните с рубрики текущей темы и читайте руководства по порядку; более поздние статьи опираются на более ранние и ссылаются на них.
Все разобранные примеры можно проверить подходящим калькулятором. Сначала попробуйте решить каждую задачу на бумаге, а затем сравните свои шаги с шагами решателя. Примеры из этих руководств перед публикацией проходят автоматические математические тесты, и в каждой статье указана дата последнего обновления.