Что такое производная? Понятное введение

От средней скорости изменения к мгновенной

Если автомобиль проезжает 120 км за 2 часа, его средняя скорость равна 60 км в час. Это число ничего не говорит о том, что показывал спидометр в конкретный момент: возможно, 0 на красном сигнале светофора или 100 на трассе. Производная — математический аналог показания спидометра: скорость изменения в одно мгновение, а не на промежутке.

Для любой функции $f$ средняя скорость изменения между $x$ и $x + h$ — это угловой коэффициент прямой, проходящей через две эти точки графика, так называемой секущей. Эту дробь называют также разностным отношением:

Чтобы получить мгновенную скорость, промежуток сжимают. Когда $h$ стремится к 0, секущая поворачивается и превращается в касательную — прямую, которая лишь касается графика в точке. Предел угловых коэффициентов секущих и есть производная.

Строгое определение

Производная функции $f$ в точке $x$ — это предел

если он существует. Тогда говорят, что $f$ дифференцируема в точке $x$. Просто подставить $h = 0$ в дробь нельзя: получится $\frac{0}{0}$. Вместо этого выражение преобразуют, пока $h$ не исчезнет из знаменателя, и только потом переходят к пределу. Если пределы для вас в новинку, наше руководство по пределам сначала объясняет саму идею.

Обозначения

Параллельно используется несколько обозначений, и все они означают одно и то же. В обозначении Лагранжа со штрихом пишут $f'(x)$. В обозначении Лейбница пишут $\frac{dy}{dx}$ или $\frac{d}{dx}f(x)$: оно напоминает, что производная — это отношение малых изменений, и делает правило дифференцирования сложной функции естественным. В физике производную по времени часто обозначают точкой: $\dot{x}$.

Дифференцирование дважды даёт вторую производную, которую обозначают $f''(x)$ или $\frac{d^2y}{dx^2}$. Если $s(t)$ — положение, то $s'(t)$ — скорость, а $s''(t)$ — ускорение.

Что производная говорит о графике

• Там, где $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• Там, где $f'(x) < 0$, она убывает.
• Там, где $f'(x) = 0$, касательная горизонтальна; локальные максимумы и минимумы находятся в таких точках (или там, где $f'$ не существует).
• Там, где $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз, как чашка; там, где $f''(x) < 0$, — выпуклый вверх.

Правила, которые делают эту работу быстрой, в том числе использованное здесь правило дифференцирования степени, собраны в статье правила дифференцирования с объяснениями.

Пример из физики: падающий камень

Камень, отпущенный из состояния покоя, через $t$ секунд пролетает $s(t) = 4.9t^2$ метра, если пренебречь сопротивлением воздуха. Между $t = 1$ и $t = 3$ он проходит путь от 4,9 м до 44,1 м, поэтому его средняя скорость равна $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ м/с.

Его мгновенная скорость — производная, $s'(t) = 9.8t$ м/с. При $t = 2$ она равна 19,6 м/с, ровно средней скорости на промежутке от 1 до 3 секунд; у квадратичной функции средняя скорость на промежутке всегда равна мгновенной скорости в его середине. Вторая производная, $s''(t) = 9.8$ м/с², — постоянное ускорение свободного падения.

Единицы измерения — хорошая проверка любой производной. Производная величины в метрах по времени в секундах измеряется в метрах в секунду. В экономике производная общих издержек в рублях по объёму выпуска — это предельные издержки, в рублях за единицу продукции.

Когда производная не существует

Функция не дифференцируема в точке, если предел разностного отношения там не существует. На графике это проявляется четырьмя способами:

• Излом, как у $|x|$ в точке 0, где угловой коэффициент слева равен $-1$, а справа $+1$.
• Острие, как у $x^{2/3}$ в точке 0, где наклон становится бесконечно крутым в противоположных направлениях.
• Вертикальная касательная, как у $\sqrt[3]{x}$ в точке 0, где угловой коэффициент бесконечен.
• Разрыв, например скачок или выколотая точка.

Из дифференцируемости следует непрерывность: если $f'(a)$ существует, то $f$ непрерывна в точке $a$. Обратное неверно, как показывает $|x|$: функция непрерывна везде, но имеет излом в 0.

Численная оценка производной

Когда формулы нет, например для данных измерений, производную можно оценить с малым шагом. Центральная разность обычно точнее односторонней:

Для $f(x) = \sin x$ в точке $x = 0$ при $h = 0.01$ получаем $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$, очень близко к точному значению $\cos 0 = 1$. Графические калькуляторы и электронные таблицы используют такие оценки. Калькулятор производных, напротив, дифференцирует символьно и показывает каждое применённое правило, а калькулятор пределов вычисляет предел из определения напрямую.

Зачем нужны производные

Любой вопрос вида «как быстро» или «какое значение наилучшее» — это вопрос о производной. Инженеры находят размеры упаковки с наименьшим расходом материала, приравнивая к нулю производную площади её поверхности. Экономисты находят объём выпуска, максимизирующий прибыль, при котором предельная выручка равна предельным издержкам. Медики моделируют, как концентрация лекарства в крови меняется со временем, и производная показывает, когда она достигает максимума.

Машинное обучение опирается на производные в огромных масштабах. Обучить модель — значит подстроить миллионы параметров так, чтобы мера ошибки уменьшилась, а направление, в котором сдвигается каждый параметр, задаёт производная; этот метод называется градиентным спуском. Физика почти целиком сформулирована на языке производных: второй закон Ньютона гласит, что сила равна массе, умноженной на вторую производную положения.

Немного истории

Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга создали дифференциальное исчисление во второй половине семнадцатого века. Ньютон думал о величинах, текущих во времени, а Лейбниц работал с бесконечно малыми разностями, и его обозначение $\frac{dy}{dx}$ сегодня используют большинство учебников. Методы обоих отлично работали, но опирались на расплывчатые представления о бесконечно малых. Строгое определение через пределы, которым пользуется эта статья, появилось в девятнадцатом веке, прежде всего благодаря Огюстену Луи Коши и Карлу Вейерштрассу, и наконец дало этой области прочный фундамент.

Частые вопросы