Математический анализ изучает изменение и накопление. Эти руководства объясняют пределы, производные, интегралы и ряды на разобранных примерах и раскрывают рассуждение, на котором держится каждое правило.
Каждая тема математического анализа опирается на предыдущую. Пределы определяют производную, производные дают правила для скоростей изменения, интегралы обращают дифференцирование и измеряют накопленную площадь, а ряды приближают функции многочленами. Руководства этого раздела следуют этому пути.
Помимо правил вы найдёте их обоснования, полностью решённые примеры и проверки, выявляющие большинство ошибок: продифференцировать первообразную, чтобы убедиться в ней, или сравнить многочлен Тейлора с функцией в близкой точке. Калькуляторы производных, интегралов, пределов и рядов показывают тот же ход решения шаг за шагом.
Математический анализ вознаграждает и аккуратную запись. Писать перед тем, что дифференцируется, сохранять у каждой первообразной и указывать промежуток для каждого ряда — небольшие привычки, которые предотвращают большинство снятых баллов, и разобранные примеры отрабатывают их все.
Если вы только начинаете, сначала прочитайте руководство о пределах, а затем те, что объясняют, что такое производная и какие есть правила дифференцирования, и только потом переходите к интегралам и рядам.
Математический анализ
Предел описывает значение, к которому приближается функция, когда её переменная стремится к некоторому числу, независимо от того, достигает функция этого значения или нет. Пределы лежат в основе производных, интегралов и рядов: уверенно их вычислять — первый настоящий навык математического анализа.
Математический анализ
Производная функции показывает, как быстро меняется её значение при изменении переменной, причём в конкретный момент. Графически это угловой коэффициент касательной; алгебраически — предел средних скоростей изменения на всё более коротких промежутках.
Математический анализ
Вычислять производные по определению через предел утомительно. Небольшой набор правил, каждое из которых один раз доказано из этого определения, позволяет продифференцировать почти любую формулу за несколько строк. Это руководство представляет каждое правило, объясняет, почему оно работает, и показывает, как их сочетать.
Математический анализ
Интеграл складывает бесконечно много крошечных частей в одну общую величину: площадь, путь, объём или любую другую накопленную величину. Основная теорема анализа связывает это суммирование с первообразными, и именно это позволяет вычислять интегралы на практике.
Математический анализ
Неопределённый интеграл — это семейство функций, первообразных, записываемое с константой $+ C$. Определённый интеграл имеет пределы интегрирования и даёт одно число: площадь со знаком или накопленную общую величину. Основная теорема анализа позволяет вычислять второй с помощью первого.
Математический анализ
Дифференцирование неявной функции даёт dy/dx для кривых, заданных уравнением с x и y, без предварительного выражения y. Обе части дифференцируют по x, считая y функцией от x, чтобы применить правило сложной функции, а в конце выражают dy/dx.
Математический анализ
Ряд Тейлора записывает функцию как бесконечный многочлен, построенный по её производным в одной точке. Если оборвать ряд после нескольких членов, получится многочлен Тейлора — легко вычисляемое приближение, погрешность которого можно оценить.
Математический анализ
Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Вместо того чтобы вычислять это число, признаки сходимости решают, существует ли оно, и каждый подходит к определённому виду членов ряда. Главное умение — распознать, какой признак подходит к какому ряду.