Пределы в математическом анализе: практическое руководство

Идея предела

Рассмотрим $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. При $x = 3$ формула даёт $\frac{0}{0}$: значение $f(3)$ не определено. Но если вычислить $f$ в точках 2,9; 2,99; 3,01 и 3,1, получится 5,9; 5,99; 6,01 и 6,1. Результаты приближаются к 6. Говорят, что предел $f(x)$ при $x$, стремящемся к 3, равен 6, и пишут:

Значение функции в самой точке на предел не влияет. Важно лишь то, что происходит рядом с ней. Графически график $f$ — это прямая $y = x + 3$ без точки $(3, 6)$, а предел — высота этой «выколотой» точки.

Неформально запись $\lim_{x \to a} f(x) = L$ означает, что $f(x)$ становится сколь угодно близким к $L$, если взять $x$ достаточно близко к $a$, но не равным ему. Строгая формулировка этого утверждения, определение «на языке эпсилон-дельта», превращает его в доказуемое высказывание.

Способ 1: непосредственная подстановка

Многочлены, дробно-рациональные функции с ненулевым знаменателем, корни, показательные функции, логарифмы и тригонометрические функции непрерывны на своей области определения. Для непрерывной функции предел равен просто значению функции: достаточно подставить число.

Например, $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ и $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Всегда сначала пробуйте подстановку. Если получилось действительное число, задача решена. Если получилось ненулевое число, делённое на ноль, предел бесконечен или не существует. Дополнительной работы требуют только $\frac{0}{0}$ и другие неопределённости такого рода.

Способ 2: разложить на множители и сократить

Если подстановка в дробно-рациональную функцию даёт $\frac{0}{0}$, у числителя и знаменателя есть общий множитель $(x - a)$. Разложите оба на множители, сократите и подставьте снова.

Сокращать можно, потому что предел никогда не использует значение в самой точке $x = a$. В руководстве по разложению на множители описаны нужные здесь приёмы.

Способ 3: умножить на сопряжённое

Если неопределённость $\frac{0}{0}$ возникает из-за квадратного корня, умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: по формуле разности квадратов оно избавляет от корня.

Односторонние пределы и когда предел не существует

Односторонний предел учитывает значения только с одной стороны: $x \to a^-$ для левостороннего и $x \to a^+$ для правостороннего предела. Предел существует только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны.

Для $f(x) = \frac{|x|}{x}$ любое положительное значение аргумента даёт 1, а любое отрицательное — $-1$. Значит, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ и $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Они различны, поэтому $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Чаще всего так ведут себя кусочно заданные функции: в точке, где меняется формула, всегда проверяйте обе стороны.

Предел может не существовать и потому, что функция колеблется. При $x \to 0$ функция $\sin\frac{1}{x}$ бесконечно много раз пробегает значения от $-1$ до 1 и не приближается ни к какому числу.

Бесконечные пределы и пределы на бесконечности

Если функция неограниченно растёт вблизи $a$, пишут, что предел равен $\infty$, как в $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. Строго говоря, предел как число не существует, но запись показывает, каким образом он не существует, и указывает на вертикальную асимптоту $x = a$.

Пределы при $x \to \infty$ описывают поведение функции на бесконечности и горизонтальные асимптоты. Для дробно-рациональной функции разделите каждое слагаемое на старшую степень $x$ в знаменателе:

Если степень знаменателя выше, предел равен 0; например, $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Если выше степень числителя, функция неограниченно растёт. Один знаменитый предел на бесконечности определяет константу: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Замечательные тригонометрические пределы и теорема о двух милиционерах

Два предела лежат в основе всех производных тригонометрических функций:

В обоих случаях подстановка даёт $\frac{0}{0}$, и одной алгеброй неопределённость не раскрыть. Численно $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ и $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$, что подсказывает ответ, а геометрическое рассуждение с теоремой о двух милиционерах его доказывает. Угол должен быть выражен в радианах.

Теорема о двух милиционерах, или теорема о сжатой функции, утверждает: если $g(x) \le f(x) \le h(x)$ вблизи $a$ и обе функции $g$ и $h$ стремятся к $L$, то и $f$ стремится к $L$. Например, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$, и обе границы стремятся к 0, поэтому $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$, хотя сама функция $\sin\frac{1}{x}$ предела не имеет.

Правило Лопиталя

Если предел имеет вид $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, а функции дифференцируемы вблизи точки, числитель и знаменатель можно заменить их производными: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, если новый предел существует.

Дифференцируйте числитель и знаменатель по отдельности. Правило Лопиталя — это не правило дифференцирования частного, и применять его можно только к неопределённостям.

Пределы, непрерывность и производные

Функция непрерывна в точке $a$, если $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: предел существует, функция в этой точке определена, и оба значения совпадают. Сама производная — это предел, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, который всегда начинается с вида $\frac{0}{0}$; см. что такое производная. Через пределы определяются и интегралы, и сходимость рядов.

Калькулятор пределов вычисляет односторонние и двусторонние пределы, в том числе пределы на бесконечности, и указывает использованный способ. Чтобы проверить предел графически, приблизьте окрестность точки в построителе графиков.

Свойства пределов

Пределы хорошо согласуются с арифметическими действиями. Если существуют $\lim f(x)$ и $\lim g(x)$, то предел суммы равен сумме пределов, предел произведения — произведению пределов, а предел частного — частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю. Так же ведут себя постоянный множитель и степени. Эти правила объясняют, почему для непрерывных функций работает непосредственная подстановка: многочлен построен из сумм и произведений $x$ и констант, и его предел складывается точно так же.

Правила требуют, чтобы оба предела существовали по отдельности. Предел $x\sin\frac{1}{x}$ в точке 0 равен 0, но получить его перемножением пределов нельзя, потому что у $\sin\frac{1}{x}$ там предела нет. В таких случаях приходится обращаться к теореме о двух милиционерах.

Стратегия для большинства задач

1. Подставьте число. Если получилось действительное число, это и есть ответ.
2. Ненулевое число, делённое на ноль: исследуйте знак с каждой стороны, чтобы выбрать между $\infty$, $-\infty$ и несуществующим пределом.
3. Ноль на ноль у многочленов: разложите на множители и сократите.
4. Ноль на ноль с квадратными корнями: умножьте на сопряжённое.
5. Ноль на ноль с тригонометрическими функциями: преобразуйте, используя $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень знаменателя.
7. Если алгебра не помогает, примените правило Лопиталя или проверьте численно значениями с обеих сторон.

Решённые упражнения: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$ — разложением разности кубов. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$ — записав выражение как $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$ — разделив всё на $x$.

Частые вопросы