Математический анализ

Правила дифференцирования с объяснениями и разобранными примерами

Q: Работает ли правило степени с отрицательными и дробными показателями?

Да. Оно верно для любого действительного показателя: d/(dx)x^(-1) = -x^(-2) и d/(dx)x^(1/3) = 1/3x^(-2/3). Сначала перепишите корни и обратные величины в виде степеней.

Q: Можно ли обойтись без правила частного?

Часто можно. Запишите f/g как f · g^(-1) и примените правила произведения и сложной функции или заранее упростите дробь. Оба пути приводят к одному результату, хотя иногда его приходится дополнительно упростить, чтобы он выглядел одинаково.

Q: Как понять, что нужно правило сложной функции?

Всегда, когда функция содержит что-то кроме самого x: степень скобки, тригонометрическую функцию от 2x, e в степени, отличной от x, или логарифм выражения. Если внутренняя функция — просто x, её производная равна 1, и правило сложной функции ничего не меняет.

Q: Почему производная e в степени x равна самой функции?

Число e ≈ 2.71828 — это ровно то основание, при котором угловой коэффициент a^x в точке x = 0 равен 1. Благодаря этому свойству определение через предел показывает, что угловой коэффициент в любой точке равен значению функции в этой точке.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубликовано 25 октября 2026 г.

Вычислять производные по определению через предел утомительно. Небольшой набор правил, каждое из которых один раз доказано из этого определения, позволяет продифференцировать почти любую формулу за несколько строк. Это руководство представляет каждое правило, объясняет, почему оно работает, и показывает, как их сочетать.

Почему правила, а не пределы

Производная определяется как предел, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , и статья что такое производная применяет это определение к простым функциям. Делать так в каждой задаче было бы изнурительно. Вместо этого математики раз и навсегда доказали общие правила, которые сегодня охватывают многочлены, корни, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции и все их комбинации.

Представьте эти правила как два семейства: производные основных элементарных функций и правила, по которым их сочетают в суммах, произведениях, частных и сложных функциях.

Базовые правила: константы, степени и суммы

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Константа никогда не меняется: её скорость изменения равна нулю. Правило дифференцирования степени верно для любого действительного показателя $n$ , а не только для натуральных чисел, и поэтому оно гораздо полезнее, чем кажется. Постоянный множитель выносится за знак производной, а производная суммы равна сумме производных.

Пример 1: многочлен

Дифференцируем $5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ почленно.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

Пример 2: корни и обратные величины

Сначала перепишите в виде степеней: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ и $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Перед дифференцированием записывайте корни и дроби с $x$ в знаменателе как степени. Большинство ошибок с правилом степени возникает, когда этот шаг пропускают.

Показательные, логарифмические и тригонометрические функции

Эти производные стоит выучить наизусть, потому что на них опираются все более длинные задачи:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

Функция $e^x$ совпадает со своей производной, и именно поэтому $e$ встречается в анализе повсюду. Тригонометрические правила требуют углов в радианах; в градусах появляется дополнительный множитель $\frac{\pi}{180}$ . Остальные тригонометрические производные таковы: $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ и $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ , и все они следуют из правила дифференцирования частного, приведённого ниже.

Производная произведения

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Производная произведения — не произведение производных. Чтобы понять почему, представьте прямоугольник со сторонами $f$ и $g$ . Если обе стороны немного вырастут, площадь увеличится на полоску размером $f' \cdot g$ вдоль одной стороны и на полоску размером $f \cdot g'$ вдоль другой, плюс крошечный угловой кусочек, который в пределе исчезает.

Пример 3: $y = x^2\sin x$

Положим $f = x^2$ и $g = \sin x$ , тогда $f' = 2x$ и $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
При $x = \pi$ : $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

Производная частного

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Здесь из-за вычитания важен порядок. Удобно проговаривать правило так: производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя, и всё это делённое на квадрат знаменателя.

Пример 4: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Упрощаем числитель: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ , значит, $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

Применённое к $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , оно даёт $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ , что подтверждает таблицу выше.

Производная сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции даёт производную композиции, то есть функций, вложенных одна в другую. Если $y = f(g(x))$ , то:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Словами: производная внешней функции, умноженная на производную внутренней. Продифференцируйте внешнюю функцию, оставив внутреннюю без изменений, а затем умножьте на производную внутренней. В обозначениях Лейбница при $u = g(x)$ пишут $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ . Скорости перемножаются: если $u$ меняется в 3 раза быстрее $x$ , а $y$ — в 2 раза быстрее $u$ , то $y$ меняется в 6 раз быстрее $x$ . Распознавать внутреннюю и внешнюю функции учит тема композиции функций.

Пример 5: четыре производные сложных функций

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Сочетание правил

В настоящих задачах правила перемешаны. Двигайтесь снаружи внутрь: определите последнее действие в выражении, примените соответствующее правило, а затем займитесь каждой частью.

Пример 6: $y = xe^{3x}$

Самое внешнее действие — произведение: применяем правило произведения.
Производная $e^{3x}$ требует правила сложной функции: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

Пример 7: логарифмическое дифференцирование $y = x^x$

Не подходит ни правило степени, ни правило для показательной функции, потому что переменными являются и основание, и показатель.
Логарифмируем: $\ln y = x\ln x$ .
Дифференцируем обе части, левую — по правилу сложной функции: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Значит, $y' = x^x(\ln x + 1)$ при $x > 0$ .

Если выразить $y$ нельзя, как в $x^2 + y^2 = 25$ , правило сложной функции всё равно работает благодаря неявному дифференцированию.

Типичные ошибки

Забыть производную внутренней функции, например записать $\cos(x^2)$ как производную $\sin(x^2)$ .
Перемножить производные множителей вместо применения правила произведения.
Переставить слагаемые в числителе правила частного, из-за чего меняется знак.
Применить правило степени к $e^x$ или $2^x$ ; это показательные функции, а не степенные.
Вычислять тригонометрические производные в градусах.

Чтобы проверить результат, калькулятор производных показывает, какое правило он применяет на каждом шаге, а в построителе графиков можно сравнить наклон кривой со значениями её производной.

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции имеют алгебраические производные, что многих поначалу удивляет. Их получают неявным дифференцированием обратного соотношения; например, если $y = \arcsin x$ , то $\sin y = x$ , и дифференцирование обеих частей даёт $\cos y \cdot y' = 1$ . Поскольку на множестве значений арксинуса $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ , получаем результат:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Эти два результата важнее для интегрирования, чем для дифференцирования: они объясняют, почему в интегралах вроде $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ появляется арктангенс.

Производные высших порядков

Продифференцировав производную, получают вторую производную, и действуют всё те же правила. Для $y = x^4$ производные равны $4x^3$ , затем $12x^2$ , затем $24x$ , затем 24, а все следующие равны 0. Многочлен степени $n$ всегда обращается в ноль после $n + 1$ дифференцирований.

Синус и косинус, напротив, ходят по кругу: производные $\sin x$ — это $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ и снова $\sin x$ , и так повторяется каждые четыре шага. Показательная функция $e^x$ не меняется никогда. Эти закономерности — отправная точка рядов Тейлора, которые приближают функцию с помощью всех её производных в одной точке.

Решённые упражнения

Попробуйте решить каждую задачу, прежде чем читать ответ. Сначала определите самое внешнее правило.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Ответ: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Ответ: $x^2e^x(3 + x)$ , по правилу произведения.
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Ответ: $-5\sin(5x + 1)$ , по правилу сложной функции.
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Ответ: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ , по правилу частного.
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Ответ: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ , по правилу сложной функции с показателем $\frac{1}{2}$ .

Правила на практике: связанные скорости изменения

Именно правило дифференцирования сложной функции делает решаемыми задачи на связанные скорости. Допустим, круговая волна расходится по озеру так, что её радиус растёт на 2 см в секунду. Площадь равна $A = \pi r^2$ , и дифференцирование по времени даёт $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ . Когда радиус равен 10 см, площадь растёт со скоростью $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ квадратного сантиметра в секунду.

Та же идея отвечает на вопросы о лестнице, сползающей по стене, о надуваемом воздушном шаре или о тени человека, удаляющегося от фонаря. Каждый раз составляют уравнение, связывающее величины, дифференцируют каждое слагаемое по времени по правилу сложной функции и лишь потом подставляют значения для рассматриваемого момента. Подставлять до дифференцирования — классическая ошибка: из-за неё переменные величины превращаются в константы.

Частые вопросы

Работает ли правило степени с отрицательными и дробными показателями?

Да. Оно верно для любого действительного показателя: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ и $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Сначала перепишите корни и обратные величины в виде степеней.

Можно ли обойтись без правила частного?

Часто можно. Запишите $\frac{f}{g}$ как $f \cdot g^{-1}$ и примените правила произведения и сложной функции или заранее упростите дробь. Оба пути приводят к одному результату, хотя иногда его приходится дополнительно упростить, чтобы он выглядел одинаково.

Как понять, что нужно правило сложной функции?

Всегда, когда функция содержит что-то кроме самого $x$ : степень скобки, тригонометрическую функцию от $2x$ , $e$ в степени, отличной от $x$ , или логарифм выражения. Если внутренняя функция — просто $x$ , её производная равна 1, и правило сложной функции ничего не меняет.

Почему производная e в степени x равна самой функции?

Число $e \approx 2.71828$ — это ровно то основание, при котором угловой коэффициент $a^x$ в точке $x = 0$ равен 1. Благодаря этому свойству определение через предел показывает, что угловой коэффициент в любой точке равен значению функции в этой точке.

В каком порядке применять правила дифференцирования?

Начните с последнего действия, которое вы выполнили бы, вычисляя выражение для конкретного числа. Если это умножение, берите правило произведения; если функция применяется к скобке — правило сложной функции. Затем задайте тот же вопрос для каждой части и двигайтесь внутрь.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакция и математическая вычитка

Наша редакция пишет каждое руководство так, чтобы оно объясняло рассуждение за каждым методом, а не только ответ. Каждый разобранный пример перед публикацией проверяется движками решения сайта и автоматическими тестами, а статьи обновляются, как только меняется метод или формат теста.