Калькулятор неявного дифференцирования

О калькуляторе неявного дифференцирования

Многие кривые неудобно записывать в виде $y = f(x)$ . Окружность вроде $x^2 + y^2 = 25$ не проходит тест вертикальной прямой, а у такой кривой, как декартов лист $x^3 + y^3 = 6xy$ , нет удобной формулы для $y$ . Тем не менее угловые коэффициенты касательных к ним существуют почти в каждой точке, и неявное дифференцирование — это приём, который находит их, не выражая сначала $y$ .

Калькулятор применяет метод так, как его объясняют на уроках. Он считает $y$ неизвестной функцией от $x$ , дифференцирует обе части вашего уравнения по $x$ и по правилу сложной функции приписывает каждому слагаемому, содержащему $y$ , множитель $y'$ . Затем он собирает слагаемые с $y'$ в одной части, выносит $y'$ за скобки и делит, получая формулу для $\frac{dy}{dx}$ через $x$ и $y$ .

Если указать точку на кривой, калькулятор подставит её, выдаст угловой коэффициент числом и запишет уравнение касательной в этой точке. Готовая формула независимо сверяется с $-\frac{F_x}{F_y}$ — результатом, который предсказывают частные производные, — чтобы вы могли доверять ответу, прежде чем его переписать.

Что такое неявное дифференцирование?

Уравнение вроде $x^2 + y^2 = 25$ задаёт $y$ неявно: оно описывает связь между $x$ и $y$ , а не выражает $y$ напрямую. Вблизи большинства точек кривой $y$ всё равно ведёт себя как функция от $x$ , даже если эту функцию нельзя записать. Неявное дифференцирование находит её производную по самой связи.

Ключ — правило сложной функции. Если $y$ зависит от $x$ , то производная $y^2$ по $x$ равна не $2y$ , а $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . То же верно для $\sin y$ , $e^y$ и любого другого слагаемого с $y$ : дифференцируем как обычно и умножаем на $y'$ . Слагаемые, содержащие только $x$ , дифференцируются обычным образом, а константы исчезают.

Результат обычно содержит и $x$ , и $y$ , как в $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Это нормально и правильно. Одному значению $x$ могут соответствовать несколько точек кривой с разными угловыми коэффициентами, поэтому формуле нужна координата $y$ , чтобы понять, о какой точке речь.

Как пользоваться калькулятором неявного дифференцирования

Запишите уравнение с x и y ровно с одним знаком равенства, например x^2 + y^2 = 25 или x^3 + y^3 = 6 x y.
Для умножения букв используйте пробел или *: x y или x*y означает произведение x и y.
При желании введите точку на кривой, например x = 3, y = 4, чтобы получить угловой коэффициент и касательную в этой точке.
Нажмите «Найти dy/dx», чтобы увидеть продифференцированные части, собранные слагаемые с y′ и готовую формулу.
Если вы указали точку, угловой коэффициент и уравнение касательной будут в последних шагах.

Формулы

Правило сложной функции для слагаемого с y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Правило произведения с y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Короткий путь через частные производные

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Касательная в точке (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Разобранный пример: x² + y² = 25 в точке (3, 4)

Пример вычисляется в реальном времени для окружности $x^2 + y^2 = 25$ в точке $(3, 4)$ . Дифференцирование обеих частей даёт $2x + 2y\,y' = 0$ ; слагаемое $2y\,y'$ появляется из правила сложной функции. Перенеся $2x$ в другую часть и разделив на $2y$ , получаем $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

В точке $(3, 4)$ угловой коэффициент равен $-\frac34 = -0.75$ , поэтому касательная имеет уравнение $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . Геометрия это подтверждает: радиус, проведённый в точку $(3, 4)$ , имеет угловой коэффициент $\frac43$ , а касательная к окружности перпендикулярна радиусу, поэтому её коэффициент должен быть противоположным обратным числом, $-\frac34$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{угловой коэффициент в точке} = -0.75

Как мы поняли вашу задачу

Найдём dy/dx для неявно заданной кривой, считая y дифференцируемой функцией от x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Пошаговое решение

Считаем y функцией от x и дифференцируем обе части по x
Для каждого слагаемого с y нужно правило дифференцирования сложной функции: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Результат дифференцирования обеих частей
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Собираем слагаемые с y′ в одной части
Переносим все слагаемые с y′ влево, а всё остальное вправо, затем выносим y′ за скобки.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Делим, чтобы выразить y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Подставляем x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Касательная в точке
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Использованные формулы

Производная сложной функции для y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Формула производной неявной функции
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

При дифференцировании обеих частей равенство сохраняется; так как y зависит от x, каждое слагаемое с y даёт множитель y′, относительно которого затем решаем уравнение алгебраически. Результат обычно содержит и x, и y.

Проверка

Совпадает с −F_x / F_y от независимой системы символьного дифференцирования в нескольких контрольных точках ✓
(3, 4) лежит на кривой ✓

Подробное объяснение

Метод в четыре шага

Первое: продифференцируйте все слагаемые обеих частей по $x$ . Второе: если слагаемое содержит $y$ , умножьте его производную на $y'$ ; если $x$ и $y$ перемножены, используйте правило произведения. Третье: перенесите все слагаемые с $y'$ в одну часть, а остальные — в другую. Четвёртое: вынесите $y'$ за скобки и разделите на то, что осталось.

Для $x^3 + y^3 = 6xy$ первые два шага дают $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , потому что правая часть — произведение. После группировки слагаемых остаётся $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , то есть $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . Калькулятор показывает именно эту последовательность шагов.

Почему правило сложной функции даёт y′

Представьте $y$ как $y(x)$ — функцию, которую не видно. Тогда $y^3$ на самом деле сложная функция, куб $y(x)$ , и по правилу сложной функции её производная равна $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . Неявное дифференцирование — это всего лишь привычное правило сложной функции, применённое к внутренней функции, формула которой неизвестна.

Поэтому же $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ и $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Для уравнения $\sin y = x$ дифференцирование даёт $\cos y\,y' = 1$ , то есть $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Поскольку на главной ветви эта кривая есть $y = \arcsin x$ , так быстро получается производная арксинуса, если записать $\cos y$ как $\sqrt{1 - x^2}$ .

Угловые коэффициенты, касательные и особые точки

Подставив точку в формулу, вы получите угловой коэффициент в этой точке, но только если точка действительно лежит на кривой, поэтому сначала проверьте, удовлетворяет ли она исходному уравнению. С угловым коэффициентом $m$ и точкой $(x_0, y_0)$ касательная имеет уравнение $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

Формула помогает находить и особые точки. Горизонтальные касательные там, где числитель $\frac{dy}{dx}$ обращается в ноль, а знаменатель нет. Вертикальные касательные там, где обращается в ноль знаменатель, а числитель нет; у окружности это происходит в $(\pm 5, 0)$ , где $y = 0$ . Если числитель и знаменатель одновременно равны нулю, как в начале координат у декартова листа, кривая может пересекать саму себя, и угловой коэффициент нужно исследовать отдельно.

Короткий путь через частные производные

Если перенести всё в одну часть, кривая записывается как $F(x, y) = 0$ . Анализ функций нескольких переменных даёт тогда формулу $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , где $F_x$ и $F_y$ — частные производные. Для $x^2 + xy + y^2 = 7$ имеем $F_x = 2x + y$ и $F_y = x + 2y$ , значит, $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , что в точке $(1, 2)$ равно $-0.8$ .

Калькулятор использует эту формулу как независимую проверку пошагового результата. Вы можете поступать так же: если ваше ручное решение и короткий путь совпадают, результату можно доверять.

Где это пригодится дальше: связанные скорости

Неявное дифференцирование — двигатель задач на связанные скорости изменения. Если лестница соскальзывает по стене, её нижний и верхний концы в каждый момент удовлетворяют $x^2 + y^2 = L^2$ , и обе координаты зависят от времени. Дифференцируя по $t$ , а не по $x$ , получаем $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , что связывает скорость нижнего конца со скоростью верхнего.

Порядок действий тот же, что и на этой странице: продифференцировать связь, применить правило сложной функции к каждой меняющейся величине и выразить искомую скорость. На этом же основано логарифмическое дифференцирование: от обеих частей $y = x^x$ берут $\ln$ и неявно дифференцируют $\ln y = x \ln x$ , получая $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Типичные ошибки

Записывать производную $y^2$ как $2y$ , забывая множитель $y'$ .
Забывать правило произведения в смешанных слагаемых, так что $\frac{d}{dx}[xy]$ превращается просто в $y'$ или $xy'$ .
Дифференцировать константу в правой части как переменную, вместо того чтобы получить 0.
Делить на выражение, равное нулю в исследуемой точке, и тем самым пропускать вертикальную касательную.
Подставлять точку, которая не удовлетворяет исходному уравнению.
Без необходимости заранее выражать $y$ , что часто порождает квадратные корни с неясным знаком.

Советы

Обводите или выделяйте каждый $y'$ при записи, чтобы ни один не потерялся при группировке слагаемых.
Раскрывайте произведения до дифференцирования, если это уменьшает число слагаемых по правилу произведения.
Используйте $-\frac{F_x}{F_y}$ для быстрой проверки результата.
Упрощайте итоговую дробь, сокращая общие множители вроде 2 или 3.
Перед поиском касательной проверьте, лежит ли ваша точка на кривой.
Для второй производной ещё раз неявно продифференцируйте $y'$ и подставьте формулу первой производной.

Частые вопросы

Когда применяют неявное дифференцирование?

Всякий раз, когда y связан с x уравнением, которое трудно или невозможно разрешить относительно y, как x³ + y³ = 6xy, или когда выражение y разбило бы кривую на несколько ветвей, как у окружностей и эллипсов.

Почему dy/dx содержит не только x, но и y?

Одному значению x могут соответствовать несколько точек неявной кривой, и у каждой свой угловой коэффициент. Буква y в формуле указывает, о какой точке речь. Для окружности −x/y в точке (3, 4) равно −0,75, а в точке (3, −4) равно +0,75.

Как ввести точку для углового коэффициента?

Запишите обе координаты в необязательное поле, например x = 3, y = 4. Калькулятор подставит их в dy/dx и запишет уравнение касательной по точке и угловому коэффициенту.

Может ли он дифференцировать уравнения с sin y или e^y?

Да. Допускается любое дифференцируемое выражение с x и y. Слагаемые вроде sin y или e^y получают множитель y′ по правилу сложной функции, так что из sin y = x получается dy/dx = 1/cos y.

Что значит, если знаменатель dy/dx равен нулю?

В этой точке касательная вертикальна, если только числитель тоже не обращается в ноль. Для x² + y² = 25 это происходит в точках (5, 0) и (−5, 0).

Неявное дифференцирование — то же самое, что использование частных производных?

Оба способа дают одинаковый результат. Пошаговый метод напрямую использует правило сложной функции, а формула dy/dx = −F_x/F_y — частные производные F(x, y). Калькулятор показывает первый способ и проверяет его вторым.

Можно ли найти d²y/dx² этим калькулятором?

Калькулятор находит первую производную. Для второй ещё раз продифференцируйте формулу dy/dx по правилу частного, помня, что y по-прежнему зависит от x, а затем замените каждый появившийся y′ выражением первой производной.

Какие буквы должны быть в уравнении?

Уравнение должно быть записано через x и y, где y — зависимая переменная. Другие буквы не принимаются, и калькулятор сообщит об этом, а не будет угадывать их роль.

Нужно ли выражать y перед дифференцированием?

Нет, и обычно лучше этого не делать. Если выразить y из x² + y² = 25, получится ±√(25 − x²) — две разные функции с громоздкими квадратными корнями. Дифференцируя исходное уравнение, вы работаете сразу с обеими половинами окружности.

Попробуйте калькулятор неявного дифференцирования

Введите уравнение с x и y и получите dy/dx со всеми шагами, а также угловой коэффициент и касательную в выбранной точке.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор неявного дифференцирования

О калькуляторе неявного дифференцирования

Что такое неявное дифференцирование?

Как пользоваться калькулятором неявного дифференцирования

Формулы

Правило сложной функции для слагаемого с y

Правило произведения с y

Короткий путь через частные производные

Касательная в точке (x₀, y₀)

Разобранный пример: x² + y² = 25 в точке (3, 4)

Ответ

Как мы поняли вашу задачу

Пошаговое решение

Использованные формулы

Проверка

Подробное объяснение

Метод в четыре шага

Почему правило сложной функции даёт y′

Угловые коэффициенты, касательные и особые точки

Короткий путь через частные производные

Где это пригодится дальше: связанные скорости

Типичные ошибки

Советы

Частые вопросы

Когда применяют неявное дифференцирование?

Почему dy/dx содержит не только x, но и y?

Как ввести точку для углового коэффициента?

Может ли он дифференцировать уравнения с sin y или e^y?

Что значит, если знаменатель dy/dx равен нулю?

Неявное дифференцирование — то же самое, что использование частных производных?

Можно ли найти d²y/dx² этим калькулятором?

Какие буквы должны быть в уравнении?

Нужно ли выражать y перед дифференцированием?

Попробуйте калькулятор неявного дифференцирования

Другие математические калькуляторы