Угловой коэффициент прямой по двум точкам

Q: Что означает отрицательный угловой коэффициент?

Что прямая опускается с ростом x. При угловом коэффициенте -3/2 на 2 единицы вправо прямая опускается на 3 единицы.

О калькуляторе углового коэффициента

Угловой коэффициент прямой показывает, насколько круто она поднимается или опускается: это изменение $y$ , делённое на изменение $x$ между любыми двумя точками. Прямая с положительным угловым коэффициентом поднимается вправо, с отрицательным — опускается, нулевой коэффициент соответствует горизонтальной прямой, а у вертикальной прямой углового коэффициента нет.

Зная угловой коэффициент $m$ , по любой из двух точек находят точку пересечения с осью y, $b$ , и получают прямую $y = mx + b$ .

Что такое угловой коэффициент прямой?

Угловой коэффициент — одно число, описывающее наклон и направление прямой. Он определяется как отношение изменения по вертикали к изменению по горизонтали: на сколько прямая поднимается или опускается на каждую единицу вправо. Угловой коэффициент 2 означает, что прямая на каждом шаге вправо поднимается на 2 единицы, коэффициент $-\frac32$ — что на 2 единицы вправо она опускается на 3 единицы, а коэффициент 0 — что она горизонтальна.

Поскольку прямая везде одинаково крутая, любые две её точки дают один и тот же угловой коэффициент. Поэтому он — ключ к уравнению прямой: зная $m$ и одну точку, вы полностью задаёте прямую. В жизни угловой коэффициент — это скорость изменения, например километры в час на графике пути или рубли за штуку на графике затрат.

Как пользоваться калькулятором углового коэффициента

Введите координаты первой точки (x₁, y₁).
Введите координаты второй точки (x₂, y₂).
Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть изменения по вертикали и по горизонтали, несократимый угловой коэффициент и уравнение прямой.

Формулы

Угловой коэффициент

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Уравнение с угловым коэффициентом

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент

y - y_1 = m(x - x_1)

Разобранный пример: (2, 3) и (6, 11)

В примере используются точки (2, 3) и (6, 11). Изменение по вертикали равно $11 - 3 = 8$ , по горизонтали — $6 - 2 = 4$ , поэтому угловой коэффициент равен $\frac84 = 2$ . По первой точке находим точку пересечения с осью y, $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ , и прямая — $y = 2x - 1$ . Для проверки подставляем вторую точку: $2 \cdot 6 - 1 = 11$ , как и ожидалось.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

m = 2,\quad y = 2x - 1

Как мы поняли вашу задачу

Находим угловой коэффициент (скорость изменения) прямой, проходящей через две точки.

Пошаговое решение

Обозначаем точки
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
Находим изменение y (подъём)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
Находим изменение x (шаг)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Делим подъём на шаг
$m = \frac{8}{4} = 2$
Находим точку пересечения с осью y по первой точке
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Записываем уравнение прямой
$y = 2x - 1$

Использованные формулы

Угловой коэффициент
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Уравнение с угловым коэффициентом
$y = mx + b$

Угловой коэффициент равен 2: при каждом увеличении на 1 единицу x, y изменяется на 2. Прямая возрастает слева направо.

Проверка

Вторая точка: 2·(6) + -1 = 11 (ожидалось 11)

Подробное объяснение

Отрицательные и дробные угловые коэффициенты, вертикальные прямые

Для точек (1, 2) и (5, −4) изменение по вертикали равно $-6$ , а по горизонтали — 4: калькулятор даёт $m = -\frac32$ и прямую $y = -\frac32 x + \frac72$ , сохраняя оба значения точными дробями, а не −1,5 и 3,5. Для (3, 1) и (3, 7) изменение по горизонтали равно нулю; делить на ноль нельзя, поэтому углового коэффициента нет, и калькулятор выдаёт вертикальную прямую $x = 3$ вместо уравнения $y = mx + b$ .

Три способа записать прямую

Уравнение с угловым коэффициентом $y = mx + b$ сразу показывает наклон и точку пересечения с осью y, и большинство построителей графиков ожидают именно его. Уравнение через точку и угловой коэффициент $y - y_1 = m(x - x_1)$ удобнее, когда известны точка и наклон, а точка пересечения с осью y ещё не найдена. Общее уравнение $Ax + By = C$ с целыми коэффициентами предпочитают в некоторых курсах; из $y = 2x - 1$ получается $2x - y = 1$ . Все три описывают одно и то же множество точек.

Угловой коэффициент как скорость изменения

В прикладных задачах у углового коэффициента есть единица измерения: единица y, делённая на единицу x. Если поездка на такси на 6 км стоит 11 рублей, а на 2 км — 3 рубля, то угловой коэффициент прямой через (2, 3) и (6, 11) равен 2 рублям за километр, а точка пересечения с осью y, −1, — это значение прямой при нулевом расстоянии. С этой точки зрения угловой коэффициент отвечает на вопрос: на сколько меняется y, когда x увеличивается на единицу? Ту же идею на кривые переносит производная.

Типичные ошибки

Вычитать в числителе и знаменателе в разном порядке, например делить $y_2 - y_1$ на $x_1 - x_2$ .
Делить изменение по горизонтали на изменение по вертикали, а не наоборот.
Утверждать, что угловой коэффициент вертикальной прямой равен 0; на самом деле он не определён.
Принимать координаты одной точки за изменения по вертикали и по горизонтали.
Неверно сокращать $\frac{8}{4}$ или забывать знак минус у изменения по горизонтали, когда значения x убывают.

Советы

У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты; у перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно −1.
Оставляйте угловой коэффициент дробью, чтобы не округлять при вычислении точки пересечения с осью y.
Отметьте обе точки в построителе графиков, чтобы проверить, верен ли знак.
Представьте точки до вычислений: если вторая выше и правее, угловой коэффициент должен быть положительным.
Угловой коэффициент перпендикуляра — это обратное число с противоположным знаком: прямая, перпендикулярная $y = 2x - 1$ , имеет угловой коэффициент $-\frac12$ .

Частые вопросы

Как найти угловой коэффициент по двум точкам?

Вычтите значения y, вычтите значения x в том же порядке и разделите. Для (2, 3) и (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

Что означает отрицательный угловой коэффициент?

Что прямая опускается с ростом x. При угловом коэффициенте $-\frac32$ на 2 единицы вправо прямая опускается на 3 единицы.

Почему у вертикальной прямой нет углового коэффициента?

У обеих точек одинаковое значение x, поэтому изменение по горизонтали равно 0, и формула потребовала бы деления на ноль. Такую прямую записывают как $x = c$ .

Как составить уравнение прямой?

Найдите угловой коэффициент, вычислите точку пересечения с осью y по формуле $b = y_1 - m x_1$ и запишите $y = mx + b$ .

Важен ли порядок точек?

Нет. Если поменять точки местами, знак обеих разностей изменится, поэтому их отношение останется прежним.

Можно ли вводить десятичные координаты?

Да. Десятичные дроби переводятся в точные обыкновенные, чтобы угловой коэффициент и точка пересечения с осью y были точными.

Какой угловой коэффициент у горизонтальной прямой?

Нулевой. У обеих точек одинаковое значение y, поэтому изменение по вертикали равно 0 и $\frac{0}{\text{изменение по горизонтали}} = 0$ . Такую прямую записывают как $y = c$ .

Как найти угловой коэффициент перпендикуляра?

Возьмите число, обратное исходному угловому коэффициенту, и смените знак. Если $m = -\frac32$ , перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент $\frac23$ , а произведение двух коэффициентов равно $-1$ .

Как понять, параллельны ли две прямые?

Сравните угловые коэффициенты. Две невертикальные прямые параллельны тогда и только тогда, когда у них одинаковые угловые коэффициенты и разные точки пересечения с осью y; $y = 2x - 1$ и $y = 2x + 4$ никогда не пересекаются.

Попробуйте калькулятор углового коэффициента

Введите две точки и получите точный угловой коэффициент и уравнение прямой шаг за шагом.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор углового коэффициента