Калькулятор интегралов

Выбор метода

Единого алгоритма для всех интегралов, применимого вручную, нет: всё искусство в том, чтобы распознать вид выражения. Начните с линейности: разбейте сумму и вынесите константы, затем воспользуйтесь таблицей интегралов для степеней, показательных функций, $\frac1x$ и тригонометрических функций. Если одна часть подынтегральной функции — производная другой части, попробуйте замену переменной. Если это произведение двух функций разного типа, например многочлена и экспоненты или многочлена и синуса, попробуйте интегрирование по частям. Рациональные функции требуют разложения на простейшие дроби, а выражения вида $\frac{1}{x^2 + 1}$ приводят к обратным тригонометрическим функциям.

Калькулятор пробует эти методы примерно в том же порядке и называет тот, который сработал, — так шаги помогают выбрать метод и в следующий раз.

Замена переменной по шагам

Замена переменной обращает правило дифференцирования сложной функции. В $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ внутренняя функция — $x^2$, а её производная $2x$ стоит множителем, поэтому полагают $u = x^2$ и $du = 2x\,dx$. Интеграл превращается в $\int \cos u\,du = \sin u$, а после возврата к исходной переменной получаем $\sin(x^2) + C$. Калькулятор показывает каждую из этих строк. Если производная внутренней функции присутствует лишь с точностью до постоянного множителя, как в $x\cos(x^2)$, та же замена работает после поправки на $\frac12$.

Интегрирование по частям и табличный способ

Интегрирование по частям обращает правило дифференцирования произведения: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. В качестве $u$ берите множитель, который упрощается при дифференцировании, обычно многочлен, а в качестве $dv$ — множитель, который легко интегрируется. Если $u$ — многочлен степени $n$, после $n$ повторений он обращается в ноль, и табличный способ раскладывает эти повторения в два столбца. Поэтому пример заканчивается за две строки: производная $x$ равна 1, а затем 0.

Определённые интегралы и пределы интегрирования

Заполните нижний и верхний пределы, чтобы превратить задачу в определённый интеграл. Калькулятор сначала находит первообразную, а затем применяет формулу Ньютона — Лейбница: для $\int_0^3 x^2\,dx$ он берёт $F(x) = \frac{x^3}{3}$ и вычисляет $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$. Пределы могут быть выражениями вроде pi/2. Если нужно только численное значение, калькулятор определённых интегралов работает и тогда, когда элементарной первообразной нет, потому что вычисляет площадь численно.

Когда элементарной первообразной нет

У некоторых простых на вид функций, например $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ и $\sqrt{1 + x^3}$, первообразные нельзя записать как конечную комбинацию многочленов, корней, показательных функций, логарифмов и тригонометрических функций. Это доказанный факт, а не неудача метода. Для таких функций калькулятор сообщает, что первообразная не найдена, вместо того чтобы её выдумывать, а определённый интеграл по заданному отрезку всё равно можно вычислить численно.

Так, калькулятор определённых интегралов численно находит $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ и указывает, что результат приближённый.

Зачем нужна постоянная интегрирования

Поскольку производная любой константы равна нулю, у $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ и $\frac{x^3}{3} - 2$ одна и та же производная $x^2$. Их графики отличаются сдвигом вверх или вниз, и $+ C$ описывает всё это семейство. Константа определяется, как только появляется дополнительное условие — начальное. Если скорость $v(t) = 2t$, а координата в момент 0 равна 4, интегрирование даёт $s(t) = t^2 + C$, и условие $s(0) = 4$ означает $C = 4$. В определённом интеграле константа сокращается в $F(b) - F(a)$, поэтому в численном ответе она никогда не появляется.

Ориентированная и полная площадь

Определённый интеграл считает площадь над осью x положительной, а под ней — отрицательной. За полный период $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, хотя кривая ограничивает вполне положительную площадь: дуга над осью и впадина под ней в точности компенсируют друг друга. Если в задаче спрашивают полную площадь между кривой и осью, найдите точки смены знака функции, проинтегрируйте каждую часть отдельно и сложите модули. Для $\sin x$ на $[0, 2\pi]$ получается $2 + 2 = 4$.

То же различие встречается в задачах о движении. Интеграл скорости даёт перемещение, то есть итоговое изменение координаты, а интеграл модуля скорости — весь пройденный путь.

Как читать шаги

Каждый шаг показывает одно преобразование интеграла: правило или строка таблицы — в заголовке, формула — сразу под ним. Шаги, использующие линейность, разбивают задачу на интегралы поменьше, которые решаются по отдельности и затем снова складываются, поэтому длинная функция даёт более длинный список коротких шагов, а не один большой скачок. При замене переменной строка, вводящая $u$, показывает и $du$ — именно там видно, почему метод работает. Последний шаг для неопределённого интеграла всегда добавляет постоянную интегрирования, а для определённого — подставляет пределы.