Калькулятор определённых интегралов

Почему F(b) − F(a) даёт площадь

Представьте функцию площади $A(t)$, равную площади под $f$ от $a$ до подвижной точки $t$. Если сдвинуть $t$ на малую величину $h$, добавится узкая полоска высотой примерно $f(t)$ и шириной $h$, поэтому $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. Разделив на $h$ и устремив его к нулю, видим, что $A'(t) = f(t)$: функция площади — первообразная для $f$.

Две первообразные отличаются лишь на константу, поэтому $A(t) = F(t) + C$ для найденной первообразной $F$. Так как $A(a) = 0$, константа равна $-F(a)$, и вся площадь равна $A(b) = F(b) - F(a)$. Вот почему постоянная интегрирования никогда не появляется в определённом интеграле: она сокращается при вычитании.

Ориентированная и геометрическая площадь

Если кривая проходит под осью, интеграл вычитает эту часть. В $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ положительная и отрицательная дуги в точности компенсируют друг друга, и результат равен 0. Это правильное значение интеграла, но не та площадь, которую вы заштриховали бы на чертеже.

Чтобы найти полную площадь, определите нули функции на отрезке, проинтегрируйте по каждой части и сложите модули результатов. Калькулятор понимает abs(): если ввести abs(x-1) от 0 до 2, он выдаст 1 — сумму площадей двух треугольников, тогда как x-1 на том же отрезке даёт 0.

Несобственные интегралы: бесконечные пределы и вертикальные асимптоты

Интеграл называется несобственным, если один из пределов интегрирования бесконечен или функция где-то на отрезке неограничена. Тогда его значение определяется как предел. Для $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ калькулятор находит $F(x) = -\frac1x$, вычисляет предел при $x \to \infty$, равный 0, вычитает $F(1) = -1$ и сообщает, что интеграл сходится к 1.

С асимптотами идея та же. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ сходится к 2, потому что у $2\sqrt{x}$ в точке 0 конечный предел, а $\int_0^1 \frac1x\,dx$ расходится, потому что $\ln x$ стремится к $-\infty$. Обе функции неограниченно растут вблизи нуля; исход решает то, насколько быстро. Если особая точка лежит внутри отрезка, интеграл нужно разбить в ней, и каждая половина должна сходиться сама по себе.

На всей числовой прямой предел нужен для обоих пределов интегрирования. Калькулятор вычисляет $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ как $\arctan x$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ и получает ровно $\pi$.

Когда формулы нет: численное интегрирование

У некоторых вполне обычных функций первообразные не выражаются через элементарные функции. Классические примеры — колоколообразная кривая $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ и $\sqrt{1 + x^3}$. Их определённые интегралы тем не менее существуют, их просто нужно вычислять численно.

В этом случае калькулятор использует адаптивный метод Симпсона: он приближает небольшие участки кривой параболами и дальше дробит те участки, где оценка ещё недостаточно точна, добиваясь погрешности меньше $10^{-10}$. Для $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ он выдаёт примерно 0,7468241328 и помечает это как численное приближение, чтобы его никогда не спутали с точным значением.

Полезные свойства, экономящие время

При перестановке пределов знак меняется: $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Интеграл по отрезку нулевой длины равен нулю. Для нечётной функции, например $x^3$ или $\sin x$, интеграл по симметричному отрезку $[-a, a]$ равен нулю, а для чётной он вдвое больше интеграла от 0 до $a$. Заметив симметрию до вычислений, часто можно превратить громоздкую задачу в ответ в одну строку.

Кроме того, интеграл линеен: константы выносятся, а сумма распадается на отдельные интегралы. Вместе с аддитивностью по отрезку это позволяет разбить сложную область на удобные части.