Определённый или неопределённый интеграл?

Различие с первого взгляда

• Запись: неопределённый $\int f(x)\,dx$; определённый $\int_a^b f(x)\,dx$, с нижним пределом $a$ и верхним пределом $b$.
• Результат: неопределённый даёт функцию плюс константу; определённый даёт число.
• Смысл: неопределённый отвечает на вопрос «у каких функций такая производная?»; определённый — на вопрос «сколько накапливается между $a$ и $b$?».
• Константа: неопределённый требует $+ C$; в определённом интеграле константа сокращается.
• Проверка: продифференцируйте результат неопределённого интеграла, чтобы получить подынтегральную функцию; определённый оцените по графику или прямоугольниками.

Если интегралы для вас в новинку, начните со статьи что такое интеграл, где обе идеи строятся с нуля.

Неопределённые интегралы: семейства первообразных

Неопределённый интеграл функции $f$ — это множество всех функций, производная которых равна $f$. Поскольку прибавление константы производную не меняет, результатом всегда будет семейство кривых, сдвинутых друг относительно друга по вертикали:

Чтобы выбрать одну кривую семейства, нужна дополнительная информация, обычно известное значение. Такую задачу называют задачей Коши, или задачей с начальным условием.

Физика пользуется этим постоянно. Если ускорение постоянно и равно $-9.8$ м/с², первое интегрирование даёт скорость $v(t) = -9.8t + v_0$, а второе — высоту $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. Две константы — это начальная скорость и начальная высота.

Определённые интегралы: числа как пределы сумм

Определённый интеграл определяется как предел сумм Римана и выражает площадь со знаком между графиком и осью абсцисс от $a$ до $b$. Основная теорема анализа даёт короткий путь к его вычислению:

Если взять $F + C$ вместо $F$, ничего не изменится, ведь $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Поэтому константу не пишут.

Свойства определённых интегралов

Суммы и постоянные множители, как и в случае производных, можно выносить за знак интеграла. Симметрия может сэкономить много работы: если $f$ нечётна, то есть $f(-x) = -f(x)$, то $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Например, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, потому что отрицательная и положительная половины взаимно уничтожаются. Если $f$ чётна, то $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, поэтому $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Среднее значение $f$ на $[a, b]$ равно $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Для $x^2$ на $[0, 3]$ оно равно $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: прямоугольник высотой 3 и шириной 3 имеет ту же площадь, что и область под параболой.

Замена переменной работает по-разному

В неопределённом интеграле вы делаете замену, интегрируете, а затем возвращаетесь к исходной переменной. В определённом интеграле можно пересчитать пределы для новой переменной и вообще не делать обратную замену.

Частая ошибка — перейти к $u$, сохранив старые пределы по $x$. Либо пересчитайте пределы, либо перед подстановкой вернитесь к $x$, но никогда не смешивайте оба способа.

Где они встречаются: интеграл с переменным верхним пределом

Определённый интеграл с переменным верхним пределом — это функция: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Это конкретная первообразная $f$, а именно та, что принимает значение 0 при $x = a$. Например, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Первая часть основной теоремы утверждает, что $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Так, $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, хотя у этого интеграла нет формулы в элементарных функциях. Если верхний предел сам является функцией, по правилу сложной функции появляется множитель: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Правила дифференцирования собраны в статье правила дифференцирования с объяснениями.

Несобственные интегралы

Определённый интеграл по бесконечному промежутку или от функции, которая внутри промежутка стремится к бесконечности, называется несобственным и определяется как предел. Например:

Таким образом, бесконечно длинная область может иметь конечную площадь. Напротив, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ неограниченно растёт: интеграл расходится. Это сравнение лежит в основе интегрального признака, описанного в статье признаки сходимости рядов.

Какой из двух нужен в задаче?

Посмотрите, есть ли у знака интеграла пределы, или ищите формулировки вроде «от … до», «между», «всего», «площадь» или «сколько». Они указывают на определённый интеграл и число в ответе. Формулировки вроде «найдите функцию», «общее решение» или «первообразная» указывают на неопределённый интеграл с $+ C$. Задача, в которой дано начальное значение, например $f(0) = 2$, требует неопределённого интеграла и затем нахождения $C$.

Используйте калькулятор интегралов для пошагового вычисления неопределённых интегралов и калькулятор определённых интегралов, чтобы вычислять их по отрезку, в том числе несобственные интегралы.

Подробное сравнение на одной функции

Если рассмотреть оба вида интегралов на одной и той же функции, контраст становится осязаемым. Возьмём функцию, которая показывает, сколько литров воды в минуту поступает в бак, и пусть через $t$ минут она равна $4t + 2$.

Неопределённый интеграл, $2t^2 + 2t + C$, описывает количество воды в баке в любой момент, но лишь с точностью до неизвестного начального количества. Если в начале в баке было 10 литров, то $C = 10$, и объём через $t$ минут равен $2t^2 + 2t + 10$ литра. Это функция, которую можно вычислить в любой момент времени.

Определённый интеграл от $t = 0$ до $t = 5$ отвечает на другой вопрос: сколько воды поступило за эти пять минут? Ответ — $(50 + 10) - 0 = 60$ литров, независимо от того, сколько воды было в баке вначале. Первый ответ — формула для состояния; второй — одно число для изменения. Большинство конкретных задач чётко относится к одному из двух видов, стоит только спросить себя, нужна ли в задаче величина в момент времени или общий итог за промежуток.

Типичные ошибки в обоих видах

В неопределённых интегралах самая частая ошибка — забыть константу. Это может показаться мелочью, но в задаче с начальным условием из-за этого пропадает именно то, что нужно найти, а в дифференциальных уравнениях исчезает целое семейство решений. Другая ошибка — после замены не записать результат снова через исходную переменную.

В определённых интегралах типичные ошибки — вычитать в неправильном порядке, смешивать после замены старые и новые пределы и принимать площадь со знаком за общую площадь. Ещё одна ловушка — интегрировать одним махом через точку, где функция не определена, например $\frac{1}{x^2}$ от $-1$ до 1. Слепое применение формулы даёт $-2$, что невозможно для положительной функции; на самом деле интеграл расходится, потому что в 0 функция стремится к бесконечности. Прежде чем применять основную теорему, всегда проверяйте, что подынтегральная функция непрерывна на всём отрезке.

Как две идеи сочетаются

Полезно считать неопределённый интеграл инструментом, а определённый — работой. Найти первообразную — трудный, творческий шаг; когда она найдена, любой определённый интеграл этой функции по любому отрезку получается одним вычитанием. Поэтому учебники уделяют столько времени методам интегрирования, и поэтому одна удачно найденная первообразная может разом ответить на целый ряд вопросов о площадях, путях и накоплении.

Частые вопросы