Калькулятор уравнений

Q: Как решаются кубические уравнения?

Калькулятор проверяет возможные рациональные корни p/q, делит по схеме Горнера на каждый найденный корень и решает то, что осталось. Оставшиеся иррациональные корни находятся численно.

Q: Сколько решений может иметь алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение степени n имеет не более n действительных решений и ровно n комплексных решений с учётом кратности. Уравнение четвёртой степени x^4 - 5x^2 + 4 = 0 имеет четыре действительных решения: -2, -1, 1 и 2.

Q: Зачем нужна теорема о рациональных корнях?

Она сужает возможные рациональные корни до дробей p/q, где p делит свободный член, а q — старший коэффициент. Так вместо угадывания вы получаете короткий список кандидатов для проверки.

О калькуляторе уравнений

Решатель уравнений должен понять, какая перед ним задача. Линейное уравнение требует обратных действий, квадратное — формулы корней, а кубическое уравнение или уравнение четвёртой степени можно разобрать с помощью теоремы о рациональных корнях.

Калькулятор по возможности сводит выражения к одному многочлену и решает его точно. Для уравнений вроде $2^x = 32$ или $\sin x = 0.5$ он находит действительные решения численно и перечисляет их на заданном промежутке. Если знака равенства нет, он упрощает или вычисляет выражение.

Что такое калькулятор уравнений?

Калькулятор уравнений принимает уравнение с одним неизвестным и возвращает все значения, которые ему удовлетворяют, вместе с использованным методом. Метод зависит от вида уравнения. Линейному уравнению вроде $5x - 3 = 12$ достаточно обратных действий. Алгебраическое уравнение вроде $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ требует находить корни один за другим. В уравнении $2^x = 32$ неизвестное стоит в показателе степени, и решают его иначе.

Сначала калькулятор записывает уравнение в виде одного выражения, равного нулю, и проверяет, является ли это выражение многочленом. Если да, корни находятся точно; если нет, действительные корни ищутся численно на заданном промежутке. Если ввести выражение без знака равенства, калькулятор раскроет скобки и упростит его: $(x + 3)^2$ превратится в $x^2 + 6x + 9$ .

Как пользоваться калькулятором уравнений

Введите уравнение вроде x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 или выражение вроде (x + 3)^2.
Используйте ^ для степеней, * для умножения (между числом и буквой его можно опускать) и sqrt( ) для корней.
Нажмите «Решить». Строка интерпретации показывает выбранный метод.

Формулы

Теорема о рациональных корнях

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Формула корней квадратного уравнения

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Теорема Безу

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ — множитель } P(x)

Разобранный пример: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

В разобранном примере решается кубическое уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . По теореме о рациональных корнях любой рациональный корень должен делить 6, поэтому калькулятор проверяет кандидатов $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Он находит $x = 1$ , делит на соответствующий множитель и получает $x^2 - 5x + 6$ ; затем находит $x = 2$ , остаётся $x - 3$ , и наконец $x = 3$ . Подстановка каждого корня в исходное кубическое уравнение даёт 0, что и подтверждает проверка.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Как мы поняли вашу задачу

Уравнение 3-й степени относительно x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Пошаговое решение

Записываем исходное уравнение
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Переносим все члены в одну часть
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = 1 — корень
Деление по схеме Горнера на (x - 1) даёт многочлен степени 2.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = 2 — корень
Деление по схеме Горнера на (x - 2) даёт многочлен степени 1.
$x - 3 = 0$
Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = 3 — корень
Деление по схеме Горнера на (x - 3) даёт многочлен степени 0.
Выписываем действительные решения
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Использованные формулы

Теорема о рациональных корнях
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Многочлен степени 3 имеет ровно 3 корня с учётом кратности (некоторые могут быть комплексными). Сначала ищутся точные рациональные корни, затем остальные находятся точно или приближённо.

Проверка

x = 1: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓
x = 2: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓
x = 3: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓

Подробное объяснение

Алгебраические уравнения шаг за шагом

Согласно следствию из теоремы Безу, $r$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда $x - r$ — его множитель. Поэтому каждый найденный корень позволяет калькулятору разделить многочлен на $x - r$ по схеме Горнера и понизить степень на единицу. Когда остаётся квадратный трёхчлен, дискриминант и формула корней точно завершают работу. Так уравнение четвёртой степени $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ раскладывается на четыре корня $-2, -1, 1$ и $2$ .

Если у оставшегося множителя нет рациональных корней, его действительные корни находятся приближённо и помечаются знаком ≈, а для квадратных множителей указываются и комплексные корни.

Неалгебраические уравнения

Для показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений калькулятор записывает уравнение в виде $f(x) = 0$ , просматривает промежуток от −100 до 100 в поисках точек, где $f$ меняет знак, и уточняет каждую методом бисекции. Для $2^x = 32$ он находит $x \approx 5$ и подстановкой показывает, что обе части равны 32. Поскольку просматривается только этот промежуток, калькулятор отмечает это в шагах; периодические уравнения вроде $\sin x = 0.5$ имеют бесконечно много решений, и показываются только те, что лежат на промежутке.

Типичные ошибки

Писать 2x^2, имея в виду (2x)^2; возведение в степень выполняется раньше умножения.
Ждать от кубического уравнения только одного решения; многочлен степени $n$ может иметь до $n$ действительных корней.
Писать sin x без скобок; пишите sin(x).
Делить обе части на множитель, содержащий $x$ , и терять корни, при которых этот множитель равен нулю.
Забывать перенести все члены в одну часть перед разложением на множители.

Советы

Перенесите всё в одну часть и вынесите общие множители, прежде чем браться за формулы.
Постройте график, чтобы увидеть, сколько действительных корней ожидать.
В показательных уравнениях проверьте, нельзя ли записать обе части как степени одного основания.
Если сумма всех коэффициентов равна 0, то $x = 1$ — корень; так и есть в разобранном примере.
Сначала прочитайте строку интерпретации: она показывает, как понят ввод и какой метод использован.
Выносите, например, $x$ за скобки вместо деления на него; у $x^3 = 4x$ три решения, а не два.

Частые вопросы

Какие уравнения он решает?

Линейные, квадратные и алгебраические уравнения любой степени, дробно-рациональные уравнения с x в знаменателе и уравнения с одной переменной, содержащие показательные, логарифмические или тригонометрические функции (решаются численно).

Как решаются кубические уравнения?

Калькулятор проверяет возможные рациональные корни $\frac{p}{q}$ , делит по схеме Горнера на каждый найденный корень и решает то, что осталось. Оставшиеся иррациональные корни находятся численно.

Почему у решения стоит знак ≈?

Знак приближённого равенства показывает, что корень найден численно, примерно с 10 значащими цифрами, потому что точного выражения для него нет.

Можно ли упростить выражение без знака равенства?

Да. Введите выражение вроде (x + 3)^2, чтобы раскрыть скобки и упростить его, или числовое выражение, чтобы его вычислить.

Находит ли он комплексные решения?

Комплексные решения указываются для квадратных уравнений и для многочленов после отделения действительных корней. Неалгебраические уравнения решаются во множестве действительных чисел.

Проверяются ли решения?

Да. Каждое решение подставляется в исходное уравнение, а невязка показывается в разделе проверки.

Сколько решений может иметь алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение степени $n$ имеет не более $n$ действительных решений и ровно $n$ комплексных решений с учётом кратности. Уравнение четвёртой степени $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ имеет четыре действительных решения: $-2, -1, 1$ и $2$ .

Зачем нужна теорема о рациональных корнях?

Она сужает возможные рациональные корни до дробей $\frac{p}{q}$ , где $p$ делит свободный член, а $q$ — старший коэффициент. Так вместо угадывания вы получаете короткий список кандидатов для проверки.

Можно ли упростить выражение, не решая его?

Да. Не ставьте знак равенства, и калькулятор вместо решения раскроет скобки и приведёт подобные слагаемые. Если ввести $(x + 3)^2$ , получится $x^2 + 6x + 9$ .

Попробуйте калькулятор уравнений

Введите уравнение или выражение и посмотрите, какой метод выбран и как проверяется каждое решение.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель