Калькулятор упрощения выражений — упростить выражение с решением

О калькуляторе упрощения выражений

Упрощение — это ежедневная уборка в алгебре. Прежде чем решать уравнение, строить график или сравнивать выражения, их обычно нужно привести к аккуратному стандартному виду: скобки раскрыты, подобные слагаемые приведены, дроби сокращены. Вручную это прежде всего вопрос аккуратности, и один потерянный знак портит весь результат.

Калькулятор упрощает многочлены от одной или нескольких переменных, такие как $3(x + 2) - 2(x - 1)$ или $(a + b)^2 - (a - b)^2$ , числовые выражения с дробями и алгебраические дроби от одной переменной, такие как $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ : он раскладывает их на множители, сокращает общие множители и указывает исключённые значения.

Что значит упростить выражение?

Два выражения тождественно равны, если при каждом допустимом значении переменных они принимают одно и то же значение. Упростить выражение — значит заменить его тождественно равным, более коротким или единообразным. У многочлена стандартный вид не содержит скобок, в нём ровно один член для каждого сочетания степеней, а члены упорядочены по убыванию степени.

У алгебраической дроби простейший вид тот, в котором у числителя и знаменателя нет общего множителя-многочлена. Сокращать множитель вроде $x + 3$ можно только там, где $x + 3 \ne 0$ , поэтому полный ответ указывает это ограничение.

Как пользоваться калькулятором упрощения выражений

Введите выражение, например 3(x + 2) - 2(x - 1) или (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
Используйте ^ для степеней, а для умножения — * или просто запись рядом: 2x, 2*x и 2(x + 1) работают одинаково.
Нажмите «Упростить» и следите за шагами: раскрытие скобок, возведение в степень, приведение подобных слагаемых, а для дробей — разложение на множители и сокращение.
Прочитайте итоговый упрощённый вид вместе с соответствующими исключёнными значениями.

Формулы

Распределительный закон

a(b + c) = ab + ac

Квадрат суммы

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Приведение подобных слагаемых

px^k + qx^k = (p + q)x^k

Сокращение общего множителя

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

Разобранный пример: 3(x + 2) − 2(x − 1)

В примере упрощается $3(x + 2) - 2(x - 1)$ . Калькулятор раскрывает скобки, умножая на каждый коэффициент, и следит за тем, чтобы $-2$ умножалось на оба члена второй скобки, так что $-1$ превращается в $+2$ .

Получаем $3x + 6 - 2x + 2$ . Если отдельно привести члены с $x$ и свободные члены, остаётся $x + 8$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

x + 8

Как мы поняли вашу задачу

Упрощаем многочлен от x.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

Пошаговое решение

Читаем выражение
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
Раскрываем скобки (перемножаем все произведения)
Каждый член одного множителя умножаем на каждый член другого: a(b + c) = ab + ac.
Результат после раскрытия скобок
$3x + 6 - 2x + 2$
Приводим подобные члены
x: 3 − 2 = 1; свободные члены: 6 + 2 = 8. У подобных членов одинаковые переменные с одинаковыми показателями, поэтому складываются только их коэффициенты.
Записываем результат в стандартном виде
Члены упорядочены по убыванию полной степени.
$x + 8$

Использованные формулы

Распределительный закон
$a(b + c) = ab + ac$
Квадрат суммы
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Подобные члены
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов выражение равно x + 8: это многочлен степени 1, в котором 2 членов.

Проверка

Выборочная проверка при x = 0.73: исходное 8.73, упрощённое 8.73 ✓

Подробное объяснение

Подобные слагаемые

У подобных слагаемых в точности одинаковые переменные с в точности одинаковыми показателями; различаться могут только числовые коэффициенты. Так, $5x^2y$ и $-2x^2y$ подобны и в сумме дают $3x^2y$ , а $x^2y$ и $xy^2$ — нет, и их нужно оставить по отдельности.

Калькулятор хранит каждый член как коэффициент вместе со списком показателей. Сложить два члена — значит сложить коэффициенты с одинаковым списком, а это и есть приведение подобных слагаемых. Поскольку коэффициенты — точные дроби, результаты вроде $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ получаются точными.

Сначала раскрыть скобки, потом привести подобные

Скобки прячут подобные слагаемые. В $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ничего нельзя привести, пока оба квадрата не раскрыты: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . После этого члены $a^2$ и $b^2$ взаимно уничтожаются, и остаётся $4ab$ . Калькулятор всегда сначала раскрывает все произведения и степени и только потом приводит подобные.

Вычитание скобки — классический источник ошибок. Знак минус относится ко всем членам в скобке, поэтому $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

Алгебраические дроби

Чтобы упростить частное многочленов, полностью разложите числитель и знаменатель на множители и сократите множители, которые есть в обоих. В $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ сокращается общий множитель $x + 3$ , и остаётся $\frac{x - 3}{x}$ при $x \ne 0$ и $x \ne -3$ .

Сокращают только множители и никогда — отдельные слагаемые. Вычеркнуть $x^2$ в $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ было бы ошибкой, ведь $x^2$ — слагаемое, а не множитель всего числителя. Запомните: сокращать можно произведения, а не суммы.

Числовые выражения и порядок действий

Если в выражении только числа, упростить его — значит точно вычислить. Калькулятор соблюдает обычный порядок действий: сначала скобки, затем степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание, каждый раз слева направо. Дроби остаются дробями от начала до конца, так что $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ превращается в $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ , а не в округлённую десятичную дробь.

Точные вычисления важны, потому что слишком раннее округление может исказить результат на следующих шагах. Если для практического ответа нужна десятичная дробь, переведите точное итоговое значение один раз, в самом конце.

Типичные ошибки

Применять знак минус только к первому члену в скобке.
Записывать $(a + b)^2$ как $a^2 + b^2$ , забывая член $2ab$ .
Складывать неподобные слагаемые, например $x^2$ и $x$ , получая $2x^3$ .
Сокращать в дроби слагаемые вместо множителей.
Забывать исключённые значения после сокращения множителя.

Советы

Прежде чем раскрывать скобки, запишите вычитание скобки как прибавление скобки, умноженной на $-1$ .
Перед приведением подобных отметьте их одним цветом.
Проверяйте упрощение, подставляя простое значение вроде $x = 2$ в обе формы.
Раскладывайте всё на множители, прежде чем что-либо сокращать в алгебраической дроби.
Упорядочивайте результат по убыванию степеней, чтобы его было легко сравнить с другими решениями.

Частые вопросы

Что такое подобные слагаемые?

Слагаемые с одинаковыми переменными и одинаковыми показателями, например 4xy и минус 7xy. Отличаются только коэффициенты, поэтому их можно объединить в один член.

Меняет ли упрощение значение выражения?

Нет. Упрощённое выражение тождественно равно исходному при каждом допустимом значении. Единственное отличие: сокращённые множители порождают исключённые значения, которые нужно указать.

Упрощает ли калькулятор выражения с несколькими переменными?

Да: в многочленах с любым числом переменных раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. Алгебраические дроби упрощаются для одной переменной.

Почему у моей сокращённой дроби есть ограничения?

Когда вы сокращаете общий множитель числителя и знаменателя, исходное выражение не было определено там, где этот множитель равен нулю. Упрощённый вид должен сохранить это ограничение, чтобы остаться тождественно равным исходному.

Упростить — то же самое, что решить?

Нет. Упрощение преобразует выражение; решение находит значения, при которых уравнение становится верным. Сначала упростите обе части, а для поиска решений используйте калькулятор уравнений.

Что такое стандартный вид многочлена?

Все скобки раскрыты, для каждого сочетания степеней есть ровно один член, а члены идут от старшей степени к младшей, со свободным членом в конце.

Можно ли упрощать числовые выражения?

Да. Выражения вроде 3/4 + 5/6 умножить на 2 точно вычисляются по порядку действий, а затем упрощаются до несократимой дроби.

Попробуйте калькулятор упрощения выражений

Введите выражение и проследите каждый шаг до его простейшего точного вида.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Упрощение выражений