Калькулятор степеней

О калькуляторе степеней

Показатели степени — это сокращённая запись повторного умножения, но они быстро выходят за её рамки: отрицательные показатели описывают обратные числа, дробные — корни, а несколько свойств превращают длинные произведения в пару строк. Путаница в этих свойствах — один из самых частых источников ошибок в алгебре.

У калькулятора два режима. Режим степени точно вычисляет $a^b$ для рационального основания и рационального показателя, например $8^{2/3} = 4$ или $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , и сообщает, если результат иррационален или не является действительным числом. Режим упрощения применяет свойства степеней к одночленам с несколькими переменными и записывает ответ с положительными показателями.

Что такое показатель степени?

В $a^n$ основание $a$ умножается само на себя $n$ раз, если $n$ — натуральное число: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Таким образом, показатель $n$ — это число множителей в произведении.

Определение расширяют так, чтобы свойства продолжали выполняться: $a^0 = 1$ при $a \ne 0$ , $a^{-n} = 1/a^n$ и $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Тогда смысл есть у любого рационального показателя, а $a^{m/n}$ — это корень $n$ -й степени из $a$ , возведённый в степень $m$ .

Как пользоваться калькулятором степеней

Выберите «Вычислить степень bⁿ», чтобы возвести число в степень, или «Упростить по свойствам степеней», чтобы применить свойства к выражению.
В режиме степени введите основание и показатель. Оба могут быть целыми числами, десятичными дробями или дробями вроде 2/3 или -1/2.
В режиме упрощения запишите выражение, используя ^ для степеней, например (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Нажмите «Вычислить» и следите за шагами; в каждом названо применённое свойство, например степень произведения или частное степеней с одинаковым основанием.

Формулы

Произведение степеней с одинаковым основанием

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Частное степеней с одинаковым основанием

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Возведение степени в степень

(a^m)^n = a^{mn}

Степень произведения

(ab)^n = a^n b^n

Отрицательный показатель

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Дробный показатель

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Разобранный пример: 8^(2/3)

В примере вычисляется $8^{2/3}$ . Знаменатель показателя 3 означает кубический корень, а числитель 2 — квадрат, поэтому калькулятор сначала находит $\sqrt[3]{8} = 2$ , а затем возводит в квадрат и получает 4.

Если сначала извлечь корень, числа остаются небольшими: $8^2 = 64$ , а затем $\sqrt[3]{64} = 4$ даёт тот же ответ ценой большего объёма вычислений.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

4

Как мы поняли вашу задачу

Возводим 8 в степень 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Пошаговое решение

Определяем основание и показатель
основание b = 8, показатель n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Правило дробного показателя
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: знаменатель 3 — показатель корня, числитель 2 — показатель степени.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Точно извлекаем кубический корень
$4$

Использованные формулы

Натуральная степень
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Отрицательный показатель
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Рациональный показатель
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 в степени 2/3 равно 4.

Проверка

Проверка в десятичных дробях: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Подробное объяснение

Почему свойства выполняются

Умножение степеней — это подсчёт. $a^3 \cdot a^2$ — это три множителя $a$ , умноженные ещё на два, всего пять, то есть $a^5$ . Деление — это сокращение: в $\frac{a^5}{a^2}$ сокращаются два множителя, и остаются три.

Определения нулевого и отрицательного показателей вынуждены правилом деления. Поскольку $\frac{a^3}{a^3} = 1$ , а правило даёт $a^0$ , должно выполняться $a^0 = 1$ . Точно так же $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ равно и $\frac{1}{a^3}$ , поэтому $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Дробные показатели и корни

Так как $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ , число $a^{1/n}$ должно быть корнем $n$ -й степени из $a$ . Калькулятор выдаёт точный результат, если корень рационален, как $32^{3/5} = 8$ , а в противном случае сохраняет точную запись с корнем вместо округлённой десятичной дроби.

При отрицательном основании корни нечётной степени действительны, так что $(-8)^{1/3} = -2$ , а корни чётной степени не являются действительными числами: у $(-4)^{1/2}$ нет действительного значения. Калькулятор сообщает об этом, а не выдаёт вводящий в заблуждение результат.

Упрощение одночленов

Чтобы упростить выражение вроде $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ , сначала примените свойство степени произведения: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Затем разделите коэффициенты и вычтите показатели для каждой переменной: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ и $y^{2-5} = y^{-3}$ . Наконец, запишите отрицательные показатели через обратные величины и получите $\frac{x^7}{y^3}$ .

Где степени встречаются за пределами уроков

Степени описывают всё, что растёт или убывает в постоянное число раз. Вклад под 5 % годовых через $t$ лет умножается на $1.05^t$ , популяция, удваивающаяся за каждый период, растёт как $2^t$ , а радиоактивный образец распадается за каждый период полураспада как $\left(\tfrac12\right)^t$ . Стандартный вид числа, например $6.02 \times 10^{23}$ , использует степени десяти, чтобы компактно записывать очень большие и очень малые числа.

Во всех случаях действуют одни и те же свойства. Два года роста, а затем ещё три дают $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ , а время до достижения целевого значения находят, обращая степень с помощью логарифма, что калькулятор логарифмов делает по шагам.

Типичные ошибки

Умножать основание на показатель, например писать $2^3 = 6$ вместо 8.
Думать, что отрицательный показатель делает результат отрицательным. $2^{-3} = \tfrac18$ , и это положительное число.
Применять показатель только к части произведения: $(3x)^2 = 9x^2$ , а не $3x^2$ .
Распределять показатель по сумме: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Путать $-3^2 = -9$ и $(-3)^2 = 9$ ; возведение в степень выполняется раньше, чем учитывается знак минус.

Советы

В $a^{m/n}$ сначала извлекайте корень, если основание — точная степень; так числа остаются меньше.
При упрощении одночленов обрабатывайте коэффициенты и каждую переменную по отдельности.
Оставляйте отрицательные показатели до последнего шага, а затем переносите их по другую сторону черты дроби.
Всегда ставьте скобки, когда возводите в степень отрицательное число или дробь.

Частые вопросы

Чему равно число в нулевой степени?

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Выражение 0 в степени 0 в этом калькуляторе остаётся неопределённым, потому что разные разделы математики трактуют его по-разному.

Как вычислить степень с отрицательным показателем?

Возьмите число, обратное основанию, и возведите его в положительную степень. Например, 5 в степени минус 2 равно 1, делённой на 25.

Что означает дробный показатель?

Знаменатель означает корень, а числитель — степень. Так, 27 в степени 2/3 — это кубический корень из 27, то есть 3, возведённый в квадрат, что даёт 9.

Можно ли возвести отрицательное число в дробную степень?

Только если знаменатель несократимого показателя нечётный. Минус 8 в степени 1/3 равно минус 2, а минус 4 в степени 1/2 не является действительным числом.

Почему (a + b) в квадрате не равно a в квадрате плюс b в квадрате?

Степень распределяется по умножению, а не по сложению. После раскрытия скобок получается a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате, и средний член легко забыть; это формула квадрата суммы.

Даёт ли калькулятор точные результаты?

Да. Результаты — точные дроби или корни; десятичное приближение показывается только рядом с иррациональным результатом.

Попробуйте калькулятор степеней

Вычислите точную степень или упростите выражение и посмотрите каждое применённое свойство.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель