Логарифмы: определение, свойства и решение уравнений

Что такое логарифм?

Степени и логарифмы — два способа описать одну и ту же зависимость. Равенство $2^3 = 8$ говорит, что, возведя 2 в степень 3, получаем 8. Логарифм переворачивает вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Ответ — 3, и пишут $\log_2 8 = 3$.

Число $b$ — основание, $x$ — аргумент логарифма, а $y$ — искомый показатель степени, то есть сам логарифм. Условия важны. Основание должно быть положительным и не равным 1, потому что все степени 1 равны 1, а степени отрицательного числа определены не для любого действительного показателя. Аргумент должен быть положительным, потому что положительное основание в любой действительной степени всегда даёт положительный результат.

• $\log_{10} 1000 = 3$, так как $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, так как $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ при любом допустимом основании, так как $b^0 = 1$, и $\log_b b = 1$, так как $b^1 = b$.

Для двух оснований есть особые обозначения. Десятичный логарифм $\log x$ имеет основание 10, удобное для величин, выражаемых степенями десяти. Натуральный логарифм $\ln x$ имеет основание $e \approx 2.71828$, которое естественно возникает при росте, распаде и в математическом анализе. В некоторых книгах и языках программирования $\log$ обозначает натуральный логарифм, поэтому уточните, какое соглашение принято в вашем курсе.

Три свойства логарифмов

Поскольку логарифмы — это показатели степени, свойства степеней прямо переходят в свойства логарифмов. Для положительных $M$ и $N$ и любого допустимого основания:

Свойство логарифма произведения следует из $b^m b^n = b^{m+n}$: перемножить числа — значит сложить их показатели, то есть их логарифмы. Свойство логарифма частного следует из деления степеней, а свойство логарифма степени — из $(b^m)^k = b^{mk}$. Именно поэтому до появления калькуляторов пользовались таблицами логарифмов: они превращали трудное умножение в сложение.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, и действительно $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Разложение и сворачивание выражений

Разложить — значит с помощью свойств разбить логарифм на более простые части; свернуть — объединить несколько логарифмов в один. Обе задачи часто встречаются на контрольных, и обе помогают при решении уравнений.

Перед сворачиванием коэффициенты должны стать показателями. $2\ln x + \ln y$ равно $\ln(x^2 y)$, а не $\ln(2xy)$.

Переход к новому основанию

На калькуляторах обычно есть клавиши только для $\log$ и $\ln$. Любое другое основание обрабатывает формула перехода к новому основанию, верная для любого нового основания $c$:

Например, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Помогает прикидка: $2^3 = 8$ и $2^4 = 16$, поэтому результат должен лежать между 3 и 4. Формула показывает также, что $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, то есть $\log_8 2 = \frac{1}{3}$, так как $\log_2 8 = 3$.

Решение показательных уравнений

Если неизвестное стоит в показателе, уединённо выразите степень и прологарифмируйте обе части, чтобы свойство логарифма степени «опустило» показатель.

Частая ошибка в примере 2 — логарифмировать до деления на 5. Это не неверно, но приводит к $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$, что требует больше работы. Если сначала выразить степень, решение остаётся коротким.

Решение логарифмических уравнений

Если неизвестное стоит под знаком логарифма, сверните логарифмы в один и перепишите уравнение в показательной форме. Поскольку логарифмов нуля и отрицательных чисел не существует, каждое возможное решение нужно проверить по исходному уравнению.

Решение примера 3 свелось к квадратному уравнению. Чтобы повторить, как его решать, прочитайте руководство по решению квадратных уравнений.

График логарифмической функции

Функция $y = \log_b x$ — обратная к $y = b^x$, поэтому её график — зеркальное отражение графика показательной функции относительно прямой $y = x$. При $b > 1$ он проходит через $(1, 0)$ и $(b, 1)$, растёт медленно и неограниченно и приближается к оси y, которая служит вертикальной асимптотой. Область определения — $(0, \infty)$, а множество значений — все действительные числа, ровно наоборот по сравнению с показательной функцией.

Сдвиги меняют область определения. Для $y = \ln(x - 3)$ аргумент должен быть положительным: область определения — $(3, \infty)$, а асимптота сдвигается к $x = 3$. Как находить эти множества, объясняет руководство по области определения и множеству значений, а связь с показательными функциями подробнее разбирает статья об обратных функциях. Несколько оснований сразу можно построить в построителе графиков.

Где применяются логарифмы

• Сложные проценты: сумма, растущая на 5% в год, удваивается, когда $1.05^t = 2$, то есть через $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ года.
• Химия: водородный показатель pH равен $-\log[\mathrm{H}^+]$; концентрация ионов водорода $10^{-3}$ моль на литр даёт pH 3, и каждая единица pH соответствует множителю десять.
• Акустика: уровень звука в децибелах равен $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$; звук в 100 раз интенсивнее кажется громче на 20 децибел.
• Информатика: двоичный поиск среди $n$ элементов требует примерно $\log_2 n$ шагов, поэтому миллиону элементов нужно всего около 20.

У всех четырёх случаев общая черта: логарифмы сжимают величины, охватывающие много порядков, в удобную шкалу и превращают мультипликативные изменения в аддитивные.

Частые ошибки

• Писать $\log(a + b) = \log a + \log b$. Свойство относится к произведениям, а для логарифма суммы правила нет.
• Писать $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. Левая часть — это переход к новому основанию, то есть $\log_b a$.
• Путать $(\log x)^2$ с $\log x^2 = 2\log x$.
• Не проверять решения логарифмических уравнений и пропустить ответ, при котором аргумент становится отрицательным.
• Путать клавиши $\log$ и $\ln$ на калькуляторе.

Калькулятор логарифмов считает при любом основании и показывает шаг перехода к новому основанию, так что примеры выше можно быстро проверить.

План изучения логарифмов

Логарифмы кажутся абстрактными в основном потому, что обозначение скрывает простой вопрос. Чтобы почувствовать уверенность, тренируйте перевод в обе стороны, пока он не станет автоматическим. Возьмите десять уже знакомых степеней, например $2^5 = 32$ или $10^{-2} = 0.01$, и запишите каждую как логарифм. Затем возьмите десять логарифмов и запишите каждый как степень. После короткой тренировки $\log_3 81$ или $\log_{10} 0.001$ становятся устным счётом, а не загадкой.

Затем отработайте свойства на числах, прежде чем применять их к переменным. Если вы убедитесь, что $\log_2 8 + \log_2 4$ равно $\log_2 32$, вычислив обе части, свойство произведения станет убедительным, и вы научитесь распознавать ложные правила из предыдущего раздела. Только после этого переходите к разложению и сворачиванию алгебраических выражений.

Наконец, решайте уравнения обоих типов: те, где неизвестное стоит в показателе, и те, где оно под знаком логарифма. Первый тип решают логарифмированием, второй — переходом к показательной форме. Распознать тип задачи — половина работы, а проверка условий в конце — вторая привычка, которая отличает правильные ответы от почти правильных.

Частые вопросы