Как найти область определения и множество значений функции

Определения и обозначения

Функция ставит в соответствие каждому элементу одного множества, области определения, ровно одно значение. Множество всех значений, которые действительно принимаются, называется множеством значений. Для $f(x) = x^2$ любое действительное число можно возвести в квадрат, поэтому область определения — все действительные числа, но квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому множество значений — $[0, \infty)$.

Область определения и множество значений обычно записывают с помощью промежутков. Квадратная скобка включает конец промежутка, круглая — исключает его; у бесконечности всегда ставится круглая скобка. Отдельные части соединяют знаком объединения $\cup$: все действительные числа, кроме 3, записываются так: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$. Запись через множество, например $\{x \mid x \neq 3\}$, говорит то же самое словами.

Если функция задана только формулой без дополнительных условий, её область определения — естественная область определения: наибольшее множество действительных чисел, при которых формула имеет смысл. Но задача может и намеренно ограничить область определения, например в прикладной задаче, где длина не может быть отрицательной.

Полезно представлять функцию как машину. Область определения — это список входных данных, которые машина принимает без сбоя, а множество значений — список всего, что может выйти на выходе. Две функции с одной и той же формулой, но разными областями определения, строго говоря, разные функции; поэтому область определения — часть определения, а не второстепенная деталь.

Нахождение области определения: три ограничения

Для функций из курса алгебры и подготовки к математическому анализу с действительным числом могут пойти не так только три вещи. Проверьте каждую из них и исключите значения, которые к ней приводят.

1. Деление на ноль: знаменатель не может равняться нулю.
2. Корни чётной степени из отрицательных чисел: подкоренное выражение квадратного корня, корня четвёртой степени и т. д. должно быть больше или равно нулю. Корни нечётной степени, например кубические, принимают любое действительное число.
3. Логарифмы отрицательных чисел и нуля: аргумент логарифма должен быть строго положительным.

У многочленов, например $3x^4 - x + 7$, таких мест нет: их область определения — все действительные числа, $(-\infty, \infty)$. То же верно для $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $|x|$ и кубических корней.

Примеры на область определения

В примере 3 использовалось правило деления неравенства на отрицательное число. Руководство по решению неравенств объясняет это правило, а также метод интервалов для условий вроде $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$.

Если функция сочетает несколько таких мест, выпишите каждое условие отдельно, решите их по очереди, а затем найдите пересечение результатов. Большинство ошибок возникает из-за забытого условия, а не при решении.

Аналитическое нахождение множества значений

Множество значений обычно найти сложнее, потому что вопрос в том, какие выходные значения возможны, а не какие входные допустимы. Три приёма покрывают большинство случаев.

Во-первых, используйте известные множества значений элементарных функций. Квадратные корни и модули никогда не бывают отрицательными, $e^x$ всегда строго положительна, а $\sin x$ и $\cos x$ лежат между $-1$ и $1$. Преобразования сдвигают или растягивают эти множества. Для $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$ корень даёт $[0, \infty)$, умножение на два оставляет $[0, \infty)$ без изменений, а прибавление 1 даёт $[1, \infty)$.

Во-вторых, приводите квадратичные функции к виду с выделенным полным квадратом, чтобы найти вершину. Поскольку квадрат никогда не бывает отрицательным, ордината вершины — это наименьшее или наибольшее значение.

В-третьих, решите $y = f(x)$ относительно $x$ и выясните, при каких значениях $y$ получается допустимое $x$ из области определения.

То же рассуждение даёт множество значений $\frac{1}{x^2 + 1}$. Знаменатель не меньше 1, поэтому значение не больше 1; кроме того, оно всегда строго положительно, но сколь угодно близко подходит к 0. Множество значений — $(0, 1]$.

Область определения и множество значений по графику

На графике область определения — это тень, которую кривая отбрасывает на ось x, а множество значений — её тень на оси y. Пройдите по кривой слева направо, чтобы найти область определения, и снизу вверх — для множества значений. Закрашенные точки обозначают включённые концы, выколотые точки — исключённые значения, а стрелки означают, что кривая продолжается неограниченно.

Вертикальные асимптоты указывают на значения вне области определения, а горизонтальные асимптоты часто подсказывают значения вне множества значений, как в примере 6. Но будьте осторожны: кривая может пересекать горизонтальную асимптоту, так что сама асимптота не доказывает, что значение исключено. Построитель графиков — хороший способ увидеть эти особенности, прежде чем подтверждать их вычислениями.

Кусочно заданные функции и прикладные задачи

У кусочно заданной функции область определения — объединение промежутков, на которых заданы отдельные части, а множество значений — объединение значений, которые принимает каждая часть. Пусть $f(x) = x + 2$ при $x < 0$ и $f(x) = 3$ при $x \ge 0$. Область определения — все действительные числа. Первая часть даёт все значения меньше 2, а вторая — только значение 3, поэтому множество значений — $(-\infty, 2) \cup \{3\}$.

В приложениях контекст задачи дополнительно ограничивает область определения. Площадь квадрата, $A = s^2$, как формула принимает любое действительное $s$, но длина стороны должна быть строго положительной: осмысленная область определения — $s > 0$, а множество значений — $A > 0$. Высота брошенного мяча имеет смысл только от момента броска до момента, когда он упадёт на землю: область определения — замкнутый промежуток времени, хотя квадратичная формула для высоты определена везде.

Область определения и множество значений в дальнейших темах

Эти идеи постоянно возвращаются. Функция имеет обратную на множестве, где она инъективна, и обратная функция меняет местами область определения и множество значений, как объясняет руководство по обратным функциям. Композиция $f(g(x))$ требует, чтобы каждое значение $g$ лежало в области определения $f$; см. композицию функций. Логарифмы и показательные функции, рассмотренные в статье о логарифмах, — классическая пара с переставленными областью определения и множеством значений.

Частые ошибки

• Сокращать до нахождения области определения. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ сокращается до $x + 3$, но $x = 3$ остаётся исключённым из исходной функции.
• Для квадратных корней использовать $>$ вместо $\ge$, без причины теряя конец промежутка, где корень равен нулю.
• Для логарифмов использовать $\ge$ вместо $>$, без причины допуская нулевой аргумент.
• Считать, что множество значений — все действительные числа, потому что такова область определения.
• Ставить квадратную скобку со стороны бесконечности.

Чтобы проверить ответы, воспользуйтесь калькулятором области определения и множества значений, который перечисляет каждое найденное ограничение и итоговые промежутки.

Частые вопросы