Калькулятор производных

Основные правила

Почти все производные из первого курса математического анализа следуют из нескольких правил. Правило для степени даёт $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ для любого действительного $n$, и это включает корни: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ имеет производную $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Вынося постоянный множитель и дифференцируя сумму почленно, вы находите производную многочлена слагаемое за слагаемым. Экспонента $e^x$ равна своей производной, а для логарифма $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$. У каждой из шести тригонометрических функций есть табличная производная, начиная с $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ и $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.

Табличные производные комбинируются с помощью трёх структурных правил. Правило произведения отвечает за $f \cdot g$, правило частного — за $\frac{f}{g}$, а правило сложной функции — за функцию внутри другой функции. Распознать структуру выражения — большая часть работы, поэтому калькулятор называет правило в заголовке каждого шага.

Производная сложной функции на практике

Правило гласит: если $y = f(g(x))$, то $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Дифференцируют внешнюю функцию, оставляя внутреннюю без изменений, и умножают на производную внутренней функции. У $\sin(x^2)$ внешняя функция — синус, внутренняя — $x^2$, поэтому производная равна $\cos(x^2) \cdot 2x$. Калькулятор записывает её как $2\cos(x^2)\,x$ — это то же выражение с переставленными множителями.

Правило сложной функции скрыто и в других правилах. У $e^{3x}$ внутренняя функция — $3x$, поэтому производная равна $3e^{3x}$, и калькулятор называет этот шаг производной показательной функции с $e^u \cdot u'$. Забыть множитель — производную внутренней функции — самая частая ошибка при дифференцировании, и быстрее всего её найти, сравнив свой ответ с шагом калькулятора для внутренней функции.

Частные и упрощение

Для частного $\frac{u}{v}$ правило имеет вид $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Порядок в числителе важен, потому что вычитание не коммутативно. Дифференцируя $\frac{e^{3x}}{x}$, получаем $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$, что калькулятор упрощает до $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$. Обе формы верны, как и $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$. Если ваш ответ выглядит иначе, подставьте в оба выражения значение, например $x = 1$; если они совпадают в нескольких точках, это хороший признак того, что выражения равносильны.

Производные высших порядков и значение в точке

Продифференцировав ещё раз, получаем вторую производную, которая показывает, как меняется сам угловой коэффициент. Положительная вторая производная означает, что кривая выпукла вниз, как чаша, отрицательная — что она выпукла вверх. Для $f(x) = x^3$ первая производная равна $3x^2$, а вторая — $6x$; при $x = 2$ получаем $f''(2) = 12$. Если бы $x^3$ в физике описывало координату, то 12 было бы ускорением в момент времени 2.

Значение первой производной в точке — это угловой коэффициент касательной в ней, и вместе с самой точкой оно позволяет записать уравнение касательной. На этом основаны линейное приближение и метод Ньютона для решения уравнений.

Поиск максимумов и минимумов с помощью производной

Дифференцируемая функция может иметь локальный максимум или минимум только там, где её производная равна нулю или не существует: на вершине или в низине касательная горизонтальна. Чтобы исследовать функцию на экстремум, найдите производную, приравняйте $f'(x) = 0$, решите относительно $x$ и проверьте каждую критическую точку. Для $f(x) = x^3 - 3x$ производная равна $3x^2 - 3$ и обращается в ноль при $x = -1$ и при $x = 1$. Вторая производная $6x$ отрицательна в $-1$ и положительна в $1$, поэтому у кривой максимум в точке $(-1, 2)$ и минимум в точке $(1, -2)$.

На отрезке наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и на концах, поэтому сравните также значения функции там. Многие прикладные задачи, например минимизация расхода материала на коробку заданного объёма, решаются именно так, как только оптимизируемая величина записана как функция одной переменной.

Как калькулятор проверяет результат

Символьное дифференцирование может ошибаться незаметно, особенно при упрощении, поэтому результат не принимается без проверки. Калькулятор вычисляет вашу производную в ряде контрольных точек и сравнивает её с центральным разностным отношением $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ при малом $h$, вычисленным прямо по исходной функции. Если они совпадают с жёстким допуском во всех точках, где функция определена, проверка пройдена и отображается под результатом. Ту же идею можно применить вручную с обычным калькулятором: выберите значение $x$, немного сдвиньте его вверх и вниз и проверьте, соответствует ли изменение $f$, делённое на изменение $x$, вашей производной.