Калькулятор частных производных

О калькуляторе частных производных

Большинство величин в естественных науках и экономике зависит больше чем от одной переменной. Объём цилиндра зависит от радиуса и высоты, прибыль компании — от цены и расходов на рекламу, а температура в комнате — от всех трёх координат. Частная производная отвечает на точный вопрос о такой функции: как быстро меняется результат, если меняется только одна переменная, а все остальные зафиксированы?

Калькулятор находит эти скорости изменения точно. Запишите функцию, например $x^2 y + \sin(xy)$ , выберите переменную, и калькулятор продифференцирует её слагаемое за слагаемым по правилам суммы, постоянного множителя, степени, произведения и сложной функции, считая любую другую букву константой. Каждое правило показано отдельным шагом, поэтому видно, почему $y$ остаётся перед $\cos(xy)$ и почему слагаемое вроде $4y$ исчезает при дифференцировании по $x$ .

Производные высших порядков находятся так же. Введите xx для второй частной производной по $x$ или xy для смешанной производной, которая берётся сначала по $x$ , а затем по $y$ . Добавьте точку, например x = 1, y = 2, чтобы вычислить в ней результат. Каждый результат независимо проверяется перед выводом.

Что такое частная производная?

Для функции $f(x, y)$ частная производная по $x$ , обозначаемая $\frac{\partial f}{\partial x}$ или $f_x$ , — это обычная производная, которая получается, если считать $y$ фиксированным числом. Формально $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . Округлый символ $\partial$ указывает, что есть и другие переменные и что они считаются постоянными.

Геометрически график $f(x, y)$ — это поверхность. Если рассечь её плоскостью $y =$ константа, получится кривая, и $f_x$ — угловой коэффициент этой кривой. Аналогично $f_y$ — угловой коэффициент сечения в направлении $y$ . Вместе первые частные производные образуют градиент $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , который указывает направление наискорейшего возрастания.

Частные производные встречаются в оптимизации (критические точки — это точки, где все первые частные производные равны нулю), в физике (уравнения теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа записываются через них), в экономике (предельные издержки и предельная полезность) и в машинном обучении, где градиенты управляют обучением любой нейронной сети.

Как пользоваться калькулятором частных производных

Запишите функцию, используя любые буквы как переменные, например x^2 y + sin(x y) или x^3 y^2 + 4y. Пробел или * между буквами означает умножение.
Во втором поле введите переменную, по которой нужно дифференцировать, например x или y.
Для высших порядков пишите по одной букве на каждое дифференцирование по порядку: xx для f_xx, xy для f_xy (сначала x, затем y) и так далее.
При желании задайте значение каждой переменной, например x = 1, y = 2, чтобы вычислить производную в этой точке.
Нажмите «Продифференцировать» и следите за шагами, каждый из которых подписан применённым правилом.

Формулы

Определение

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Обозначение смешанных производных

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Теорема Шварца (Клеро)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{если обе непрерывны}

Вектор градиента

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Правило сложной функции в частной производной

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Разобранный пример: ∂/∂x от x²y + sin(xy)

Пример вычисляется в реальном времени для $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ при дифференцировании по $x$ . При постоянном $y$ первое слагаемое — константа, умноженная на $x^2$ , поэтому оно превращается в $2xy$ . Для второго слагаемого нужно правило сложной функции: производная $\sin u$ равна $\cos u$ , умноженному на $\frac{\partial u}{\partial x}$ , а для $u = xy$ эта внутренняя производная равна $y$ .

Сложив части, получаем $2xy + y\cos(xy)$ , и калькулятор выносит общий множитель: $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Обратите внимание: $y$ ни разу не дифференцируется; он ведёт себя точно так же, как вело бы себя на его месте число 5.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Как мы поняли вашу задачу

Найдём первую частную производную f_x функции f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Пошаговое решение

Определяем функцию и порядок дифференцирования
Дифференцируем по x; все остальные переменные (y) считаем постоянными.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Производная сложной функции — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Вынесение постоянного множителя
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Вынесение постоянного множителя
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Упрощаем: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Использованные формулы

Определение
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Смешанные частные производные (теорема Шварца)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{если обе непрерывны}$

Частная производная показывает, как меняется f, когда изменяется только одна переменная: остальные переменные считаются обычными числами, поэтому действуют привычные правила дифференцирования.

Проверка

Сверено с независимой системой символьного дифференцирования в нескольких контрольных точках ✓

Подробное объяснение

Остальные переменные считаем постоянными

Единственная идея любой частной производной — переменные, по которым не дифференцируют, заморожены. Если это непривычно, сначала замените их конкретным числом. Дифференцирование $x^3 y^2 + 4y$ по $y$ при $x = 2$ — это дифференцирование $8y^2 + 4y$ : результат имеет вид $2 \cdot 8y + 4$ , и, подставив обратно $x^3$ вместо 8, получаем $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Это же объясняет, какие слагаемые исчезают. Слагаемое, содержащее только замороженные переменные, — константа, поэтому его частная производная равна нулю. Для $f = x^2 + 3xy$ частная производная по $y$ полностью игнорирует $x^2$ и даёт $f_y = 3x$ .

Знакомые правила продолжают действовать

Частное дифференцирование использует ровно те же правила, что и анализ функций одной переменной: правила степени, суммы, постоянного множителя, произведения, частного и сложной функции. Меняется только учёт. Произведение двух множителей, содержащих $x$ , при дифференцировании по $x$ требует правила произведения; если же множитель содержит только $y$ , это просто постоянный множитель.

Больше всего ошибок допускают в правиле сложной функции. Если функция применяется к выражению с несколькими переменными, как в $e^{xy}$ или $\ln(x^2 + y^2)$ , внутренняя производная тоже частная. Так, $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ и $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Вторые частные производные и смешанные производные

Продифференцировав частную производную ещё раз, получаем вторую частную производную. У функции двух переменных их четыре: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ и смешанные производные $f_{xy}$ и $f_{yx}$ . Индексы читаются слева направо: $f_{xy}$ означает дифференцирование сначала по $x$ , затем по $y$ . Запись в виде дроби $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ читается справа налево и обозначает то же самое.

Для $f = x^2 y^3$ дифференцирование по $x$ сначала даёт $2xy^3$ , а последующее дифференцирование по $y$ — $f_{xy} = 6xy^2$ , что в точке $(1, 2)$ равно 24. В обратном порядке получаем $3x^2y^2$ , а затем снова $6xy^2$ . Это совпадение — теорема Шварца, известная также как теорема Клеро: для функций с непрерывными вторыми частными производными порядок смешанного дифференцирования не важен. Калькулятор показывает это как проверку всякий раз, когда вычисляет смешанную производную.

Вторые частные производные имеют вполне конкретные применения. В достаточном условии экстремума для критической точки $f(x, y)$ величина $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ — определитель матрицы Гессе — решает, является ли точка локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой.

Значение в точке и его смысл

Частная производная сама является функцией всех переменных, поэтому её значение зависит от того, где мы находимся. Для $f = x^2 + 3xy$ производная $f_x = 2x + 3y$ в точке $(1, 2)$ равна 8. Это значит: вблизи этой точки небольшое увеличение $x$ на $\Delta x$ при фиксированном $y = 2$ увеличивает $f$ примерно на $8\,\Delta x$ .

Единицы измерения делают смысл наглядным. Если $V(r, h) = \pi r^2 h$ — объём цилиндра в кубических сантиметрах, то $V_r = 2\pi r h$ измеряется в кубических сантиметрах на сантиметр радиуса и показывает, насколько чувствителен объём к изменению радиуса при фиксированной высоте.

Типичные ошибки

Дифференцировать и переменную, которую нужно считать постоянной, например писать $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
Оставлять слагаемое вроде $4y$ при дифференцировании по $x$ ; это константа, и её производная равна 0.
Забывать внутреннюю частную производную в правиле сложной функции, например писать $\cos(xy)$ для $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
Читать $f_{xy}$ в неправильном порядке; порядок индексов — это порядок дифференцирования.
Путать $\frac{\partial f}{\partial x}$ с полной производной $\frac{df}{dx}$ , когда $y$ сам зависит от $x$ .

Советы

Мысленно заменяйте замороженные переменные числами, если забыли, что считается постоянным.
Выносите константы до дифференцирования; при дифференцировании по $x$ выражение $x^2 y^3$ — это просто $y^3$ , умноженное на $x^2$ .
Используйте теорему Шварца как бесплатную проверку: вычислите $f_{xy}$ и $f_{yx}$ и сравните.
Записывайте $\nabla f$ , как только получите обе первые частные производные; большинству приложений нужен полный градиент.
Упрощайте первую производную, прежде чем находить вторую, чтобы выражения оставались обозримыми.
Смотрите на знак частной производной в точке, чтобы понять, возрастает или убывает функция в этом направлении.

Частые вопросы

Как записать функцию двух переменных?

Используйте буквы для переменных и пробел или * для умножения, например x^2 y + sin(x y) или x^2*y + sin(x*y). Любая буква, не являющаяся именем функции вроде sin или log, считается переменной.

Как получить вторую частную производную вроде f_xx?

В поле «Дифференцировать по» напишите переменную по одному разу на каждое дифференцирование: xx для f_xx, yy для f_yy. Калькулятор продифференцирует несколько раз и покажет каждый шаг отдельно.

Равна ли f_xy производной f_yx?

Почти для всех функций из учебной программы — да. Теорема Шварца гарантирует это, если смешанные производные непрерывны. Калькулятор показывает сравнение, чтобы вы видели, что они совпадают.

Что означает символ ∂?

Это округлое d, которое используется в частных производных. Оно указывает, что у функции несколько переменных и что при дифференцировании все они, кроме стоящей в знаменателе, остаются постоянными.

Вычисляет ли он частную производную в точке?

Да. Введите значения всех переменных в необязательное поле, например x = 1, y = 2. Калькулятор подставит их в готовую производную и выдаст число; например, f_x = 2x + 3y в точке (1, 2) равна 8.

Работает ли это с тремя переменными?

Да. Функцию вроде x y z или x^2 + y z можно дифференцировать по любой из её букв. Для x y z частная производная по z равна xy.

Чем частная производная отличается от обычной?

Правила одинаковы, но обычная производная относится к единственной переменной, а частная выбирает одну переменную из нескольких и считает остальные константами. Результат остаётся функцией всех переменных.

Что такое градиент и как его образуют частные производные?

Градиент — это вектор всех первых частных производных, например ⟨f_x, f_y⟩. Он указывает направление, в котором функция растёт быстрее всего, а его длина равна этой максимальной скорости роста.

Почему моя частная производная выглядит не так, как в ответе?

Равносильные выражения можно записать по-разному. Калькулятор может вынести множитель за скобки, как в y(2x + cos(xy)) вместо 2xy + y cos(xy), или переставить множители. Раскройте скобки в обеих формах или вычислите их в одной и той же точке, чтобы убедиться, что они совпадают.

Попробуйте калькулятор частных производных

Введите функцию нескольких переменных и получите fx, fy или любую смешанную производную с объяснением каждого правила.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель