Выделение полного квадрата и запись через вершину: пошаговое руководство

Идея метода

Полный квадрат — это раскрытый квадрат двучлена. Из $(x + h)^2$ получается $x^2 + 2hx + h^2$: свободный член равен квадрату половины коэффициента при $x$. При выделении полного квадрата прибавляют именно эту константу, чтобы выражение стало полным квадратом.

Например, половина 6 равна 3, и $3^2 = 9$, значит, $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Раскрыв правую часть, получим $x^2 + 6x + 9 - 9$, что подтверждает равенство. Геометрически $x^2 + 6x$ — это квадрат $x$ на $x$ плюс две полосы $3$ на $x$, а недостающий угол — квадрат $3$ на $3$ площадью 9.

Та же схема работает и со знаком минус. Половина $-10$ равна $-5$, и $(-5)^2 = 25$, значит, $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. Добавляемая константа всегда положительна, поскольку это квадрат, а знак в скобке совпадает со знаком $b$. Если чётко различать эти два факта, можно избежать большинства ошибок в следующих шагах.

Решение квадратного уравнения выделением полного квадрата

1. Если коэффициент при $x^2$ не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
2. Перенесите свободный член в правую часть.
3. Прибавьте к обеим частям $(b/2)^2$.
4. Запишите левую часть как $(x + b/2)^2$ и упростите правую.
5. Извлеките корень из обеих частей, не забыв про $\pm$, а затем выразите $x$.

Если старший коэффициент не равен 1

Формула корней это подтверждает: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. При нечётном среднем коэффициенте дробей не избежать, но с ними вполне можно справиться. Для $x^2 + 5x - 1 = 0$ половина 5 равна $\frac{5}{2}$, значит, $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ и $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Комплексные корни

Если правая часть отрицательна, действительных корней нет, но метод по-прежнему даёт комплексные корни.

Проверка: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, и $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Запись квадратичной функции через вершину

Чаще всего выделение полного квадрата применяют к функциям, чтобы перейти от $y = ax^2 + bx + c$ к виду $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — вершина. Поскольку квадрат никогда не бывает отрицательным, при $a > 0$ вершина — точка минимума, а при $a < 0$ — точка максимума.

Самая частая ошибка в примере 4 — не умножить вычтенную 9 на вынесенный множитель $-2$. Быстрая проверка — снова раскрыть скобки в полученной записи через вершину.

Короткая формула $h = -\frac{b}{2a}$ даёт ту же абсциссу вершины; выделение полного квадрата показывает, откуда эта формула берётся. Калькулятор квадратных уравнений указывает, помимо корней, и вершину.

Вывод формулы корней

Выделение полного квадрата в общем уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ при $a \neq 0$ приводит к формуле корней, и именно поэтому эта формула работает всегда.

Промежуточный шаг получается, если прибавить к обеим частям $\frac{b^2}{4a^2}$ и записать $-\frac{c}{a}$ как $-\frac{4ac}{4a^2}$. Руководство по решению квадратных уравнений объясняет, когда использовать формулу, разложение на множители или этот метод.

Окружности и другие применения

Выделение полного квадрата по $x$ и по $y$ превращает общее уравнение окружности в каноническое, с центром и радиусом.

В математическом анализе тот же шаг готовит интегралы вида $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$: если записать знаменатель как $(x + 1)^2 + 4$, получится $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. Калькулятор интегралов применяет эту замену, когда она подходит.

Частые ошибки

• Прибавлять $(b/2)^2$ только к одной части.
• Выделять полный квадрат до деления на старший коэффициент, не равный 1.
• Забывать $\pm$ при извлечении корня, из-за чего теряется один корень.
• Использовать $b^2$ или $b/2$ вместо $(b/2)^2$.
• Неверно считывать знак вершины: $(x - 3)^2$ даёт $h = 3$, а $(x + 3)^2$ даёт $h = -3$.

Попробуйте свой пример в калькуляторе выделения полного квадрата, который показывает каждый из шагов выше.

Что показывает запись через вершину

Когда квадратичная функция записана в виде $a(x - h)^2 + k$, многие её свойства можно прочитать без дальнейших вычислений. Вершина — $(h, k)$, а ось симметрии — вертикальная прямая $x = h$. Множество значений получается сразу: если $a > 0$, наименьшее значение равно $k$, а множество значений — $[k, \infty)$; если $a < 0$, наибольшее значение равно $k$, а множество значений — $(-\infty, k]$.

Можно определить и число точек пересечения с осью x. Из $a(x - h)^2 + k = 0$ следует $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Если $-\frac{k}{a}$ положительно, точек пересечения две; если равно нулю, вершина касается оси; если отрицательно, парабола ось не пересекает. В примере 3 уравнение $(x - 2)^2 = -3$ не имеет действительных корней, что согласуется с вершиной на высоте 3 у параболы с ветвями вверх. В примере 4 из $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ получаем $(x - 3)^2 = 4$: точки пересечения — $x = 1$ и $x = 5$.

На той же идее основаны задачи на оптимизацию. Если прибыль от продажи по цене $p$ равна $P = -2p^2 + 12p - 10$ в сотнях долларов, то пример 4 показывает, что наибольшая прибыль составляет 8 сотен долларов при $p = 3$. Производная не нужна: квадратный член может лишь опустить значение ниже высоты вершины.

Упражнения с решениями

Попробуйте решить их, прежде чем смотреть ответы. Каждое использует шаг из предыдущих примеров.

1. Решите $x^2 - 10x + 21 = 0$. Решение: $(x - 5)^2 = 4$, значит, $x = 3$ или $x = 7$.
2. Решите $x^2 + 2x - 4 = 0$. Решение: $(x + 1)^2 = 5$, значит, $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Запишите $y = x^2 + 8x + 10$ через вершину. Решение: $y = (x + 4)^2 - 6$, вершина $(-4, -6)$.
4. Запишите $y = 3x^2 - 6x + 1$ через вершину. Решение: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, вершина $(1, -2)$.
5. Найдите центр и радиус $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Решение: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, центр $(-1, 4)$, радиус 3.

Если ответ не сходится, снова раскройте свой полный квадрат и сравните строку за строкой с исходным выражением; разница обычно показывает, какую константу неверно прибавили или вычли.

Почему этот метод стоит изучить

Раз есть формула корней, напрашивается вопрос, зачем вообще учить выделение полного квадрата. Ответ: это преобразование, а не просто приём решения. Оно переписывает выражение так, что переменная встречается только в одном месте, внутри квадрата. После этого выражение легко исследовать: минимум или максимум, симметрия и корни видны с первого взгляда.

Эта идея встречается по всей математике. Конические сечения, такие как окружности, эллипсы и гиперболы, распознают выделением полного квадрата по двум переменным. В статистике в показателе степени плотности нормального распределения стоит выделенный полный квадрат, и многие её свойства основаны на том же вычислении. В математическом анализе интегралы с квадратным трёхчленом под корнем или в знаменателе после этого шага сводятся к табличным. Физика использует его, чтобы находить положения равновесия энергетических функций.

Так что тренировка на простых уравнениях развивает навык, на который опираются более поздние темы. Если вы можете решить примеры 1–5 без подсказок, вы хорошо подготовлены к этим применениям, а также к экзаменационным задачам, где требуется сам метод, а не только корни.

Частые вопросы