Разложение многочленов на множители: пошаговый алгоритм

Зачем нужно разложение на множители

Разложить многочлен на множители — значит записать его в виде произведения более простых многочленов. Раскрытие скобок в $(x + 3)(x + 4)$ даёт $x^2 + 7x + 12$; разложение на множители — обратный путь. Разложенная форма обычно гораздо полезнее: она сразу показывает решения уравнения, упрощает дроби сокращением общих множителей и показывает, где график пересекает ось x.

Любое разложение можно проверить, снова перемножив множители. Если перемножение не даёт в точности исходный многочлен, где-то ошибка; сделайте такую проверку привычкой.

Алгоритм разложения на множители

Каждый преподаватель и каждый учебник упорядочивает приёмы немного по-своему, но следующий алгоритм подходит почти для всех многочленов первого курса алгебры. Применяйте его по порядку и начинайте заново для каждого множителя, пока раскладывать будет нечего.

1. Вынесите за скобки наибольший общий множитель всех членов.
2. Посчитайте члены. Если их два, ищите разность квадратов либо сумму или разность кубов.
3. Если членов три, ищите полный квадрат; если это не он, подбирайте числа по сумме и произведению или используйте метод переброски (AC).
4. Если членов четыре, попробуйте группировку.
5. Начиная с третьей степени и при отсутствии узнаваемой формы используйте теорему о рациональных корнях и деление многочленов.
6. Проверьте каждый множитель ещё раз, а затем перемножьте для контроля.

Шаг 1: наибольший общий множитель

Всегда начинайте отсюда. Найдите наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты, и наименьшую степень каждой переменной, входящей во все члены.

Если старший коэффициент отрицателен, вынесите отрицательный общий множитель. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ гораздо удобнее, чем работать с отрицательным членом при $x^2$.

Трёхчлены со старшим коэффициентом 1

Для $x^2 + bx + c$ ищите два числа $m$ и $n$, для которых $mn = c$ и $m + n = b$. Тогда $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 и 4 в произведении дают 12, а в сумме 7, отсюда множители $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ и 3 в произведении дают $-15$, а в сумме $-2$, отсюда множители $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ и $-5$, что даёт $(x - 4)(x - 5)$.

Знаки подсказывают короткий путь. Если $c$ положительно, оба числа имеют знак $b$. Если $c$ отрицательно, числа разных знаков, и большее по модулю имеет знак $b$.

Трёхчлены с произвольным старшим коэффициентом: метод переброски

При $a \neq 1$ умножьте $a$ на $c$, найдите два числа с произведением $ac$ и суммой $b$, разбейте с их помощью средний член, а затем разложите группировкой.

Трёхчлен с целыми коэффициентами раскладывается на множители над целыми числами тогда и только тогда, когда $b^2 - 4ac$ — полный квадрат. Для $3x^2 - 10x + 8$ дискриминант равен $100 - 96 = 4$, это полный квадрат, поэтому подбор обязательно удастся. Если дискриминант не полный квадрат, прекратите подбор и воспользуйтесь формулой корней квадратного уравнения.

Формулы сокращённого умножения, которые стоит узнавать

Три формы встречаются так часто, что их стоит узнавать с первого взгляда:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: формула разности квадратов применяется дважды.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, так как $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ и $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ и $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Сумму двух квадратов вроде $x^2 + 4$ нельзя разложить на множители над действительными числами. Её дискриминант равен $-16$, то есть отрицателен.

Четыре члена: разложение группировкой

Разбейте многочлен на две пары, вынесите общее в каждой паре и ищите общую скобку.

Если скобки не совпадают, прежде чем сдаваться, перегруппируйте члены в другие пары.

Высокие степени: теорема о рациональных корнях

Для многочлена с целыми коэффициентами любой рациональный корень $\frac{p}{q}$ в несократимой записи удовлетворяет условию: $p$ делит свободный член, а $q$ делит старший коэффициент. Проверяйте кандидатов, пока один не даст ноль, а затем делите на соответствующий линейный множитель.

Калькулятор многочленов выполняет деление шаг за шагом, если хотите сверить результат.

Частые ошибки при разложении на множители

• Забыть общий множитель, из-за чего остаётся более трудный трёхчлен и неполный ответ.
• Остановиться слишком рано: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ — это ещё не всё, потому что $x^2 - 4$ раскладывается дальше.
• Обращаться с $a^2 + b^2$ как с разностью квадратов.
• Ошибки в знаках при группировке: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, а не $-4(x - 3)$.
• Не проверять перемножением. Это занимает всего несколько секунд и выявляет все перечисленные ошибки.

Проверяйте свои многочлены в калькуляторе разложения на множители, который на каждом шаге указывает применённый метод, и используйте разложенные формы, чтобы упрощать рациональные дроби.

Как понять, что многочлен не раскладывается

Не каждый многочлен раскладывается на множители над целыми числами, и если распознать это рано, можно сэкономить много времени. Для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ с целыми коэффициентами вычислите дискриминант $b^2 - 4ac$. Если это полный квадрат, многочлен распадается на линейные множители с рациональными коэффициентами. Если он положителен, но не является полным квадратом, корни иррациональны, и многочлен называют неприводимым над рациональными числами; если он отрицателен, многочлен вообще не раскладывается над действительными числами.

Например, у $x^2 + 3x + 1$ дискриминант равен $9 - 4 = 5$, а это не полный квадрат: никакая пара целых чисел не даёт в произведении 1, а в сумме 3. Его корни $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ находятся по формуле корней квадратного уравнения. Сумма квадратов $x^2 + 4$ имеет дискриминант $-16$ и не раскладывается над действительными числами, но над комплексными раскладывается в виде $(x - 2i)(x + 2i)$.

Для многочленов третьей степени и выше теорема о рациональных корнях даёт конечный список кандидатов. Если ни один из них не является корнем, у многочлена нет линейного множителя с рациональными коэффициентами, хотя многочлен четвёртой степени всё равно может распадаться на два квадратных трёхчлена.

Где разложение на множители понадобится дальше

Разложение на множители — не обособленная тема. Решение уравнений с многочленами опирается на свойство нулевого произведения: если $AB = 0$, то $A = 0$ или $B = 0$. Упрощение рациональных дробей опирается на сокращение общих множителей. Точки пересечения с осью x и знак многочлена определяют прямо по разложенной форме, а в математическом анализе пределы вида $\frac{0}{0}$ часто находят разложением и сокращением.

Например, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ нельзя найти подстановкой, но если разложить числитель как $(x - 2)(x + 2)$ и сократить, останется $x + 2$, поэтому предел равен 4. Разложение на простейшие дроби для интегрирования тоже начинается с полного разложения знаменателя на множители.

Всегда проверяйте разложение перемножением. Умножать быстрее, чем раскладывать, и это сразу выявляет ошибки в знаках.

Чтобы проверить своё разложение, введите его в калькулятор разложения на множители или раскройте скобки в результате с помощью калькулятора упрощения выражений.

Частые вопросы