Решение линейных уравнений шаг за шагом

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение с одним неизвестным — это уравнение, которое можно привести к виду $ax + b = 0$, где $a$ и $b$ — числа и $a \neq 0$. Неизвестное входит только в первой степени: нет $x^2$, нет $\sqrt{x}$ и нет $x$ в знаменателе. Поскольку график $y = ax + b$ — прямая, уравнение имеет ровно одно решение $x = -\frac{b}{a}$, то есть точку, в которой эта прямая пересекает ось x.

Уравнения $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ и $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ все линейные, хотя пока и не выглядят как $ax + b = 0$. Работа состоит в том, чтобы переписывать их, одно допустимое преобразование за другим, пока неизвестное не останется в одиночестве.

Модель весов за каждым шагом

Представьте уравнение как весы в равновесии. С одной чашей можно делать что угодно, если с другой делать в точности то же самое, ведь две равные величины, изменённые одинаково, остаются равными. Вам понадобятся четыре преобразования:

• прибавить к обеим частям одно и то же число или выражение;
• вычесть из обеих частей одно и то же число или выражение;
• умножить обе части на одно и то же число, не равное нулю;
• разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю.

Умножать на ноль или делить на ноль — единственное, что запрещено: умножение на ноль превращает любое уравнение в $0 = 0$ и уничтожает информацию, а деление на ноль не определено.

Алгоритм из пяти шагов

1. Раскройте скобки по распределительному закону: $5(x - 2)$ превращается в $5x - 10$.
2. Избавьтесь от дробей или десятичных чисел, умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей или на степень десяти, например 10.
3. Приведите подобные слагаемые в каждой части по отдельности.
4. Сложением или вычитанием перенесите члены с x в одну часть, а числа — в другую.
5. Разделите на коэффициент при неизвестном, а затем для проверки подставьте решение в исходное уравнение.

Не каждому уравнению нужны все шаги. Алгоритм лишь задаёт порядок, который помогает избежать самых частых путаниц, например деления до того, как приведены подобные слагаемые.

Разобранные примеры, от простого к сложному

Обратите внимание на порядок. При построении выражения $3x + 7$ семёрку прибавили последней, поэтому убирают её первой. Решать — значит выполнять действия в обратном порядке.

Если вам удобнее положительный коэффициент, собирайте члены с x в той части, где коэффициент уже больше. В примере 3 прибавление $4x$ к обеим частям даёт $9 = 6x - 15$, затем $24 = 6x$ и $x = 4$, вовсе без деления на отрицательное число.

Уравнения с дробями и десятичными числами

Больше всего ошибок случается с дробями, поэтому избавляйтесь от них в самом начале. Умножьте каждый член обеих частей на наименьшее общее кратное знаменателей. Каждый член означает действительно каждый член, включая целые числа без видимого знаменателя.

С десятичными числами поступают так же, используя степень десяти. Выберите степень, которая убирает десятичное число с наибольшим количеством знаков после запятой.

Уравнения, полные дробей, можно проверить калькулятором дробей или сверить каждый шаг с решателем уравнений.

Нет решений или бесконечно много решений

Иногда в ходе решения неизвестное полностью исчезает. То, что остаётся, показывает, какой это особый случай.

Верное равенство вроде $6 = 6$ означает, что обе части — одно и то же выражение: любое действительное число является решением. Такое уравнение называют тождеством.

Неверное равенство вроде $6 = 5$ означает, что никакое значение $x$ не уравняет части: уравнение не имеет решений. На графике обе части — параллельные прямые с одинаковым угловым коэффициентом и разными точками пересечения с осью y, поэтому они никогда не пересекаются.

Выражение переменной из формулы

Та же модель весов помогает выражать переменную из формулы, то есть решать уравнение с несколькими переменными относительно одной из них. Обращайтесь с каждой буквой, кроме искомой, как с числом.

Приведение уравнения к такому виду — первый шаг к построению его графика, который можно исследовать с помощью калькулятора углового коэффициента.

Составление уравнения по текстовой задаче

Повседневные задачи приводят к линейным уравнениям, когда величина меняется с постоянной скоростью. Обозначьте неизвестное, переведите каждое предложение в выражение и приравняйте два описания одной и той же величины.

Переводить предложения в уравнения можно дальше тренировать с решателем текстовых задач.

Частые ошибки и как их избежать

• Умножать только первый член: $3(x + 4)$ равно $3x + 12$, а не $3x + 4$.
• Терять минус: $-(x - 5)$ равно $-x + 5$. Умножайте минус на каждый член в скобках.
• Умножать на общий знаменатель только дроби, забывая про целые члены.
• Переносить член в другую часть уравнения, не меняя его знак. Слова «перенести член» — лишь сокращение для вычитания его из обеих частей.
• Останавливаться на $-x = 3$. Разделите на $-1$, чтобы получить $x = -3$.
• Пропускать проверку. Если подставлять в исходное уравнение, а не в промежуточную строку, вы найдёте ошибку на любом шаге.

Что изучать дальше

Когда линейные уравнения освоены, те же навыки прямо переносятся на линейные неравенства, где добавляется одно дополнительное правило, и на системы уравнений, где два линейных уравнения делят два неизвестных. Если в уравнении есть $x^2$, прочитайте руководство по решению квадратных уравнений. Для практики введите любой из примеров выше в калькулятор для нахождения x и сравните его шаги со своими.

Частые вопросы