Решение систем уравнений: графический способ, подстановка и сложение

Что значит решить систему

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений с одними и теми же неизвестными. Решение — это набор значений неизвестных, например $x = 2$ и $y = 3$, который удовлетворяет всем уравнениям одновременно. Удовлетворить только одному уравнению недостаточно.

При двух неизвестных каждое уравнение задаёт прямую на плоскости, а решение — это точка, лежащая на обеих прямых. Эта картина объясняет три возможных исхода:

• Прямые пересекаются один раз: ровно одно решение.
• Прямые параллельны: решений нет. Говорят, что система несовместна.
• Прямые совпадают: бесконечно много решений. Система совместна, но не определена.

Способ 1: графический

Приведите каждое уравнение к виду $y = mx + b$, постройте обе прямые и найдите точку пересечения. Графический способ лучше всего показывает, что означает система, и сразу видно, параллельны прямые или совпадают. Но он неточен: точку пересечения при $x = \frac{7}{3}$ трудно считать с эскиза. Используйте его для оценки, а затем подтвердите результат вычислениями. Построить обе прямые одновременно можно в построителе графиков.

Способ 2: подстановка

Выразите из одного уравнения одно неизвестное, подставьте это выражение в другое уравнение и решите получившееся уравнение с одним неизвестным. Подстановка — естественный выбор, когда у одного неизвестного уже коэффициент 1 или $-1$.

Всегда заключайте подставляемое выражение в скобки. Запись $3x + 2x - 1$ здесь срабатывает случайно, но при подстановке $y = 2x - 1$ в $3x - y = 9$ нужно $3x - (2x - 1)$, и скобка меняет знак у $-1$.

Способ 3: сложение

Складывайте или вычитайте кратные уравнений так, чтобы одно неизвестное исчезло. Способ сложения обычно самый быстрый, когда оба уравнения записаны в виде $ax + by = c$.

Если ни один коэффициент не подходит, сначала умножьте одно или оба уравнения так, чтобы они подошли.

Как распознать отсутствие решений или их бесконечное множество

Если при сложении исчезают оба неизвестных, посмотрите, что осталось.

• $x + y = 4$ и $2x + 2y = 10$. Удвоив первое, получаем $2x + 2y = 8$; после вычитания остаётся $0 = 2$, что неверно. Прямые параллельны: решений нет.
• $x + y = 4$ и $3x + 3y = 12$. Утроив первое, получаем ровно второе; после вычитания остаётся $0 = 0$. Все точки прямой $x + y = 4$ являются решениями.

Это видно по коэффициентам ещё до вычислений: если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, и у системы либо нет решений, либо их бесконечно много.

Правило Крамера с определителями

Для системы из двух уравнений с двумя неизвестными определители сразу дают каждое неизвестное:

Для $2x + 3y = 12$ и $5x - 3y = 9$: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ и $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. Отсюда $x = 3$ и $y = 2$, как и способом сложения. Если $D = 0$, правило неприменимо, и это как раз случай параллельных или совпадающих прямых. Руководство по определителям объясняет, как вычислять их для больших систем.

Три уравнения с тремя неизвестными

Стратегия та же: исключите одно неизвестное из двух разных пар уравнений, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, решите её, а затем выполните обратную подстановку.

Большие системы обычно решают с помощью матриц и метода Гаусса; калькулятор матриц показывает именно этот ход решения.

Прикладная задача

Два неизвестных требуют двух независимых друг от друга условий. Если задача даёт только одно, однозначного ответа у неё быть не может.

Выбор способа и как избежать ошибок

• Используйте подстановку, когда одно неизвестное уже выражено или имеет коэффициент 1.
• Используйте сложение, когда уравнения записаны в общем виде, особенно если коэффициенты уже равны или противоположны.
• Используйте правило Крамера, чтобы быстро получить ответ для системы из двух уравнений с двумя неизвестными или когда нужна формула для каждого неизвестного.
• Всегда проверяйте результат в обоих исходных уравнениях, потому что ошибка в вычислениях может дать точку, удовлетворяющую только одному из них.

Сверяйте свои вычисления с калькулятором систем уравнений, который показывает каждый шаг способа сложения или подстановки. Чтобы повторить шаги решения отдельного уравнения, которые встречаются в каждом способе, прочитайте, как решать линейные уравнения.

Какой способ выбрать?

Все способы ведут к одному и тому же решению, поэтому выбирайте тот, при котором вычисления проще. Подстановка идеальна, когда в одном уравнении неизвестное уже выражено, как в $y = 2x - 1$, или когда у неизвестного коэффициент 1 или $-1$. Сложение обычно быстрее, когда оба уравнения записаны в виде $ax + by = c$ и ни одно неизвестное не выражено, потому что оно откладывает дроби до конца.

Графический способ служит для наглядности: две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые или одна и та же прямая, построенная дважды. Для точных значений он менее надёжен, если только у точки пересечения не целые координаты. Правило Крамера и матричные методы подходят для систем с тремя и более неизвестными, и именно их используют внутри калькуляторы и программы.

Для нелинейных систем, например прямой и параболы, подстановка почти всегда верный выбор. Из $y = x^2$ и $y = x + 2$ следует $x^2 = x + 2$, то есть $x^2 - x - 2 = 0$ и $(x - 2)(x + 1) = 0$. Точки пересечения — $(2, 4)$ и $(-1, 1)$, и обе удовлетворяют каждому уравнению.

Проверка решения

Решение системы должно удовлетворять всем уравнениям, а не только последнему использованному. Подставьте свои значения в каждое исходное уравнение. Во втором примере на способ сложения $(2, 5)$ даёт $3(2) + 2(5) = 16$ и $4(2) - 5(5) = -17$: оба уравнения выполнены. Значение, которое удовлетворяет одному уравнению, но не другому, выдаёт ошибку при сложении.

Записывайте проверку на контрольной. Она занимает меньше минуты, а проверенный ответ при оценивании часто засчитывается в плюс.

Калькулятор систем уравнений решает системы с двумя и тремя неизвестными и показывает каждый шаг, что удобно для сравнения с вашим решением.

Частые вопросы