Калькулятор определителей

О калькуляторе определителей

Определитель сводит квадратную матрицу к одному числу, которое отвечает сразу на несколько важных вопросов. Обратима ли матрица? Имеет ли система линейных уравнений, которую она задаёт, единственное решение? Во сколько раз отображение увеличивает площади или объёмы и меняет ли оно ориентацию? Всё это можно прочитать по определителю.

Калькулятор находит определитель квадратных матриц любого разумного размера. Он выбирает способ из учебника: перекрёстное произведение диагоналей для матриц $2 \times 2$ , разложение по первой строке для матриц $3 \times 3$ и приведение к верхнетреугольному виду начиная с $4 \times 4$ . Дроби и десятичные числа переводятся в точные дроби, поэтому ответ точный.

Что такое определитель?

Определитель — это число $\det(A)$ , также записываемое $|A|$ , которое определено для любой квадратной матрицы. Для матрицы $2 \times 2$ оно равно $ad - bc$ . Для матриц большего размера определитель задаётся рекурсивно через разложение по строке или, что равносильно, как сумма со знаками по всем перестановкам столбцов.

Геометрически $|\det(A)|$ — это коэффициент, в который линейное отображение $A$ увеличивает площади в двумерном случае или объёмы в трёхмерном. Отрицательный определитель означает, что отображение меняет ориентацию, как отражение, а нулевой — что оно сжимает пространство в пространство меньшей размерности.

Как пользоваться калькулятором определителей

Введите квадратную матрицу, разделяя элементы пробелами, а строки точками с запятой, например 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Нажмите «Найти определитель».
Посмотрите, какой способ выбран для вашего размера матрицы, и каждое промежуточное значение.
Проверьте, равен ли определитель нулю, чтобы узнать, обратима ли матрица.

Формулы

Определитель 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Разложение по первой строке

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Определитель произведения

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Треугольная матрица

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Разобранный пример: Матрица 3×3

В примере вычисляется определитель матрицы $3 \times 3$ со строками $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ и $(1, 4, 5)$ разложением по первой строке. Каждый элемент первой строки умножается на минор $2 \times 2$ , который получается вычёркиванием его строки и столбца, со знаками $+$ , $-$ , $+$ .

Миноры равны 4, 11 и 8, поэтому определитель равен $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Ненулевое значение означает, что матрица обратима.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\det A = 49

Как мы поняли вашу задачу

Находим определитель матрицы 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Пошаговое решение

Считываем матрицу 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Раскладываем по первой строке (разложение по алгебраическим дополнениям)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Вычисляем каждый минор 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Объединяем с чередующимися знаками + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Использованные формулы

Определитель 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Разложение по алгебраическим дополнениям
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

Определитель равен 49 и не равен нулю, поэтому матрица обратима, а её строки линейно независимы.

Проверка

Вычислено точно с дробями; метод Гаусса даёт то же значение 49.

Подробное объяснение

Разложение по строке

Минор $M_{ij}$ — это определитель матрицы, полученной вычёркиванием строки $i$ и столбца $j$ . Алгебраическое дополнение снабжает его знаком $(-1)^{i+j}$ , который чередуется в шахматном порядке, начиная с $+$ в левом верхнем углу. Разложение по любой строке или столбцу даёт один и тот же результат, поэтому вручную лучше выбирать строку или столбец с нулями.

Разложение по строке идеально для матриц $3 \times 3$ , но очень быстро разрастается: разложение $4 \times 4$ требует четырёх определителей $3 \times 3$ , а разложение $10 \times 10$ потребовало бы миллионов слагаемых. Поэтому для больших матриц калькулятор меняет способ.

Приведение к треугольному виду методом Гаусса

Если прибавить к строке кратное другой строки, определитель не изменится; если переставить две строки, он сменит знак; если умножить строку на число, определитель умножится на то же число. По этим правилам калькулятор исключает элементы под каждым ведущим элементом, пока не получится верхнетреугольная матрица, а затем перемножает диагональные элементы. Для матрицы $4 \times 4$ со строками $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ и $(0, 1, 0, 2)$ получается $-15$ .

Что означает нулевой определитель?

Нулевой определитель означает, что строки линейно зависимы: хотя бы одна строка — линейная комбинация остальных. У матрицы нет обратной, а система $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. Матрица со строками $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ и $(7, 8, 9)$ — классический пример; её определитель равен 0, потому что средняя строка — среднее арифметическое двух других.

Определители встречаются также в правиле Крамера для решения небольших систем, в характеристическом многочлене $\det(A - \lambda I) = 0$ , корни которого — собственные значения, и в формуле замены переменных в кратных интегралах.

Типичные ошибки

Вычислять $ad + bc$ или $ab - cd$ вместо $ad - bc$ .
Забывать чередование знаков при разложении по строке.
Брать не тот минор, вычеркнув не ту строку или не тот столбец.
Забывать о смене знака при перестановке строк во время преобразований.
Пытаться найти определитель неквадратной матрицы.

Советы

Раскладывайте по строке или столбцу с наибольшим числом нулей.
Сначала выносите общий множитель строки; определитель умножается на то же число.
Если две строки равны или пропорциональны, определитель без дальнейших вычислений равен 0.
Используйте $\det(A^{T}) = \det(A)$ , чтобы раскладывать по столбцу, когда так удобнее.
Используйте калькулятор обратных матриц, если определитель не равен нулю и вам нужна $A^{-1}$ .
Используйте калькулятор собственных значений, основанный на $\det(A - \lambda I)$ .

Частые вопросы

Как найти определитель матрицы 2×2?

Перемножьте элементы главной диагонали и вычтите произведение элементов другой диагонали: для строк (a, b) и (c, d) определитель равен ad − bc.

Как найти определитель матрицы 3×3?

Разложите его по строке: умножьте каждый элемент на его минор 2×2, расставьте знаки +, −, + и сложите. Калькулятор показывает каждый минор и итоговую сумму.

Какой способ используется для матриц 4×4 и больше?

Приведение к верхнетреугольному виду методом Гаусса с последующим перемножением диагональных элементов. Для больших матриц это гораздо быстрее разложения по строке.

Что значит, что определитель равен нулю?

Что матрица вырожденная: её строки линейно зависимы, обратной матрицы нет, а соответствующая система линейных уравнений не имеет единственного решения.

Может ли определитель быть отрицательным?

Да. Отрицательный определитель означает, что отображение меняет ориентацию. Его модуль по-прежнему остаётся коэффициентом изменения площадей или объёмов.

Можно ли найти определитель неквадратной матрицы?

Нет. Определитель определён только для квадратных матриц, и для неквадратной матрицы калькулятор сообщит её размер.

Принимаются ли дроби?

Да. Дроби и десятичные числа переводятся в точные дроби, поэтому определитель получается точным.

Попробуйте калькулятор определителей

Введите квадратную матрицу и получите её точный определитель подходящим способом с объяснением каждого шага.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель