Калькуляторы линейной алгебры

Линейная алгебра — это математика векторов и матриц, на которой держится всё: от решения систем уравнений до компьютерной графики и анализа данных. Эти калькуляторы работают с точными дробями: элементарные преобразования строк, разложения по строке и характеристические многочлены, которые они показывают, совпадают с тем, что вы написали бы от руки.

Калькуляторы

Матричный калькулятор

Умножайте, складывайте или вычитайте матрицы, умножайте одну из них на число или возводите в степень, находите транспонированную матрицу, приведённый ступенчатый вид, ранг и след — точно, в дробях и со всеми шагами.

Калькулятор определителей

Введите квадратную матрицу, чтобы найти её определитель: по правилу ad − bc для 2×2, разложением по первой строке для 3×3 и приведением к треугольному виду методом Гаусса для матриц большего размера, в точной арифметике.

Калькулятор обратной матрицы

Введите квадратную матрицу, чтобы найти обратную в точных дробях — по короткому правилу для матриц 2×2 или методом Гаусса — Жордана для [A | I], — и убедитесь, что произведение A на обратную даёт единичную матрицу.

Калькулятор собственных значений

Введите квадратную матрицу, чтобы найти её собственные значения и собственные векторы: с характеристическим многочленом, точными корнями, включая выражения с радикалами и комплексные пары, и нахождением ядра для каждого собственного вектора.

Калькулятор скалярного произведения

Введите два вектора и получите скалярное произведение, их длины, угол между ними и проекцию одного на другой, причём каждое умножение и каждое сложение показаны.

Калькулятор векторного произведения

Введите два пространственных вектора и получите их векторное произведение через определитель, его длину, то есть площадь параллелограмма, построенного на них, и проверку того, что результат ортогонален обоим.

Темы раздела

Действия с матрицами: Сумма, произведение, транспонирование, ранг и метод Гаусса.
Определители и обратные матрицы: Разложение по строке, метод Гаусса — Жордана и случаи, когда матрица необратима.
Собственные значения: Характеристический многочлен, собственные векторы и кратности.
Векторы: Скалярное произведение, угол между двумя векторами, проекции и векторное произведение.

Точная арифметика для матриц

Вычисления с матрицами легко искажаются, если на каждом шаге округлять десятичные дроби. Эти калькуляторы от начала до конца используют точные дроби: ступенчатый вид, полученный методом Гаусса, или обратная матрица выглядят так, как вы получили бы их вручную, а элемент вроде $-\frac{2}{3}$ никогда не превращается в $-0.6667$ . Если результат, например собственное значение, иррационален, точная форма с корнями приводится вместе с приближённым значением.

Каждая операция расписывается шаг за шагом: применённое преобразование строк, раскрываемое алгебраическое дополнение или раскладываемый на множители характеристический многочлен. Поэтому инструменты хорошо подходят для проверки домашних заданий, где одна ошибка в знаке в начале меняет все последующие строки.

Где нужна линейная алгебра

Системы линейных уравнений, компьютерная графика, машинное обучение, экономика и квантовая физика опираются на векторы и матрицы. Определитель показывает, имеет ли система единственное решение, собственные значения описывают долгосрочное поведение процесса, скалярное произведение измеряет углы и проекции, а векторное произведение даёт вектор, перпендикулярный двум другим. Тот, кто понимает эти операции на бумаге, гораздо легче истолкует результаты любой программы.

Руководства

Как проверять домашние задания и ответы по математике
Почти любой ответ по математике можно проверить без листа с ответами. Подстановка в уравнение, обратный ход, прикидка, проверка частных значений и контроль единиц находят подавляющее большинство ошибок за малую долю времени, потраченного на саму задачу.