Калькулятор векторного произведения

О калькуляторе векторного произведения

Векторное произведение берёт два пространственных вектора и даёт третий вектор, ортогональный обоим. Это стандартный способ найти вектор нормали к плоскости, вычислить площадь параллелограмма или треугольника в 3D и описать вращательные величины физики, такие как момент силы и момент импульса.

Калькулятор находит $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ для пространственных векторов с помощью привычной записи через определитель, в первой строке которого стоят $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$ . Он показывает каждую координату отдельно, включая смену знака у среднего слагаемого — источник большинства ошибок, — затем находит длину и подтверждает, что результат ортогонален обоим данным векторам.

Что такое векторное произведение?

Для векторов $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ и $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ векторное произведение — это вектор $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Оно определено для векторов трёхмерного пространства, и результат тоже пространственный вектор.

Он перпендикулярен и $\mathbf{u}$ , и $\mathbf{v}$ , а его направление задаётся правилом правой руки: согните пальцы правой руки от $\mathbf{u}$ к $\mathbf{v}$ , и большой палец укажет направление $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Его длина равна $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ — площади параллелограмма, построенного на двух векторах.

Как пользоваться калькулятором векторного произведения

Введите три координаты первого вектора через запятую, например 1, 2, 3.
Введите три координаты второго вектора.
Нажмите «Вычислить».
Посмотрите координаты при i, j и k и итоговый вектор.
Используйте шаг с длиной для площадей и проверку ортогональности, чтобы подтвердить результат.

Формулы

Запись через определитель

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Длина

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Антикоммутативность

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Площадь треугольника

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Разобранный пример: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

В примере находится векторное произведение $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ и $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . Координата при $\mathbf{i}$ равна $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ , при $\mathbf{j}$ — $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ , при $\mathbf{k}$ — $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Итак, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , а его длина $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ — площадь параллелограмма, построенного на двух векторах. Его скалярное произведение с каждым из данных векторов равно 0, что подтверждает ортогональность.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Как мы поняли вашу задачу

Векторное произведение двух векторов 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Пошаговое решение

Записываем определитель с единичными векторами i, j, k в первой строке
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
Координата i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
Координата j (обратите внимание на знак минус в разложении)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
Координата k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Длина = площадь параллелограмма, построенного на u и v
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Проверяем ортогональность
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Использованные формулы

Векторное произведение
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Длина
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Результат перпендикулярен и u, и v; его длина 3√6 ≈ 7.348469228 равна площади построенного на них параллелограмма (площадь треугольника вдвое меньше).

Проверка

Результат перпендикулярен обоим исходным векторам (оба скалярных произведения равны 0).

Подробное объяснение

Метод определителя

Записать единичные векторы в первую строку определителя $3 \times 3$ и разложить его по этой строке — самый простой способ запомнить формулу. Каждая координата — это определитель $2 \times 2$ из столбцов, не относящихся к данному единичному вектору. Среднее слагаемое получает знак минус из шахматной схемы знаков алгебраических дополнений $+, -, +$ ; поэтому калькулятор выделяет его отдельно.

Векторное произведение дистрибутивно относительно сложения, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , а при умножении одного из векторов на число результат умножается на то же число. Однако оно не ассоциативно: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ и $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ в общем случае — разные векторы. Для векторов на плоскости, например $\langle 1, 2, 0 \rangle$ и $\langle 3, 4, 0 \rangle$ , результат $\langle 0, 0, -2 \rangle$ направлен вдоль оси $z$ прямо вниз, а его длина 2 равна площади параллелограмма на плоскости.

Геометрический смысл

Длина векторного произведения равна площади параллелограмма со сторонами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ , значит, половина её — площадь треугольника, который они образуют. Для треугольника с вершинами $P$ , $Q$ и $R$ найдите векторное произведение $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{PR}$ и разделите его длину пополам.

Если векторы параллельны, параллелограмм вырождается в отрезок, и векторное произведение равно нулевому вектору. Для $\langle 1, 2, 3 \rangle$ и $\langle 2, 4, 6 \rangle$ калькулятор выдаёт $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , что даёт быструю проверку на параллельность.

Нормали, плоскости и физика

Векторное произведение двух направляющих векторов плоскости даёт вектор нормали к ней, а зная одну точку плоскости, можно записать её уравнение $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . В компьютерной графике тот же расчёт даёт нормали к поверхностям для освещения.

В физике момент силы равен $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , а магнитная сила, действующая на движущийся заряд, — $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . В обоих случаях результат перпендикулярен плоскости двух векторов, как и предсказывает правило правой руки.

Типичные ошибки

Забывать знак минус у координаты при $\mathbf{j}$ .
Считать, что $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; при перестановке множителей направление меняется на противоположное.
Применять векторное произведение к векторам на плоскости, не дописав нулевую третью координату.
Путать векторное произведение со скалярным, результат которого — число.
Забывать делить длину пополам, чтобы получить площадь треугольника.

Советы

Проверяйте ответ, находя его скалярное произведение с каждым данным вектором; оба результата должны быть равны 0.
Запомните $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ и $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ как подсказку.
Для 2D-векторов вводите 0 в качестве третьей координаты; ответ тогда будет направлен вдоль оси $z$ .
Используйте калькулятор скалярного произведения, чтобы найти угол между векторами.
Используйте калькулятор определителей, чтобы найти смешанное произведение $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ как определитель $3 \times 3$ .
Нарисуйте оба вектора и примените правило правой руки, чтобы заранее предсказать знак каждой координаты.

Частые вопросы

Как найти векторное произведение?

Запишите i, j и k в первую строку определителя 3×3, а два вектора — в следующие строки, затем разложите определитель по первой строке. Не забудьте знак минус у координаты при j.

Что означает длина векторного произведения?

Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах. Половина её — площадь треугольника, который они образуют.

Коммутативно ли векторное произведение?

Нет. При перестановке множителей направление меняется на противоположное: v × u = −(u × v).

Можно ли найти векторное произведение 2D-векторов?

Не напрямую: векторное произведение определено для трёх координат. Допишите каждому вектору 0 в качестве третьей координаты, и результат будет направлен вдоль оси z.

Что означает нулевое векторное произведение?

Что векторы параллельны (или один из них нулевой), то есть они не задают никакой площади.

Как проверить векторное произведение?

Найдите его скалярное произведение с каждым из исходных векторов. Оба результата должны быть равны нулю, потому что векторное произведение ортогонально обоим данным векторам. Калькулятор делает эту проверку за вас.

Как найти вектор нормали к плоскости?

Возьмите два непараллельных вектора, лежащих в плоскости, и найдите их векторное произведение. Результат перпендикулярен плоскости.

Попробуйте калькулятор векторного произведения

Введите два 3D-вектора и получите векторное произведение, его длину и проверку ортогональности шаг за шагом.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель