Собственные значения и собственные векторы онлайн

О калькуляторе собственных значений

Собственные значения и собственные векторы описывают направления, которые матрица сохраняет, и то, во сколько раз она их растягивает. На них основаны исходный алгоритм ранжирования веб-страниц, с которого начинался крупнейший поисковик, формы колебаний мостов и молекул, метод главных компонент в статистике, устойчивость дифференциальных уравнений и уровни энергии в квантовой механике. В курсе линейной алгебры это обычно та глава, где сходится всё пройденное раньше: определители, метод Гаусса и ядра.

Калькулятор следует учебному алгоритму. Он составляет характеристический многочлен $\det(\lambda I - A)$ , находит его корни точно с помощью теоремы о рациональных корнях, формулы корней квадратного уравнения и деления многочленов, а затем решает $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ для каждого собственного значения, так чтобы у собственных векторов по возможности были простые целые координаты.

Иррациональные собственные значения остаются в точной форме с радикалами, комплексные выводятся сопряжёнными парами, а кратные указываются вместе с алгебраической и геометрической кратностью, чтобы вы сразу видели, диагонализуема ли матрица. Принимаются матрицы от 2×2 до 4×4, что охватывает практически все учебные задачи и контрольные.

Что такое собственные значения и собственные векторы?

Ненулевой вектор $\mathbf v$ называется собственным вектором квадратной матрицы $A$ , если умножение на $A$ меняет только его длину: $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ для некоторого числа $\lambda$ . Это число — собственное значение, соответствующее $\mathbf v$ . Большинство векторов при умножении на матрицу меняют направление; собственные векторы — особые, они остаются на своей прямой, проходящей через начало координат.

Если записать определение как $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ , становится ясно, как их искать. Ненулевое решение существует, только если $A - \lambda I$ необратима, то есть если её определитель равен нулю. Уравнение $\det(A - \lambda I) = 0$ называется характеристическим; для матрицы $n \times n$ это многочлен степени $n$ , поэтому с учётом кратности собственных значений ровно $n$ , и некоторые из них могут быть комплексными.

У каждого собственного значения бесконечно много собственных векторов, ведь любое ненулевое кратное собственного вектора — снова собственный вектор. Поэтому ответ даётся одним представительным вектором или базисом, если независимых направлений несколько, а в вашем учебнике может стоять другое кратное того же вектора.

Как пользоваться калькулятором собственных значений

Запишите матрицу по одной строке матрицы на строку текста, разделяя элементы пробелами, например 4 1 в первой строке и 2 3 во второй.
Можно записать и всю матрицу в одну строку, разделяя строки точками с запятой, например 4 1; 2 3.
Элементы могут быть целыми, десятичными, дробными или отрицательными числами. Матрица должна быть квадратной, от 2×2 до 4×4.
Нажмите «Найти собственные значения», чтобы увидеть характеристический многочлен, его корни и нахождение собственных векторов для каждого собственного значения.
При кратных собственных значениях посмотрите на указанные кратности, если нужно узнать, диагонализуема ли матрица.

Формулы

Уравнение для собственных значений

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Характеристическое уравнение

\det(\lambda I - A) = 0

Быстрая формула для 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

След и определитель

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Диагонализация матрицы

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Разобранный пример: 2×2, рациональные элементы

Пример вычисляется в реальном времени для $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . След равен 7, а определитель $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ , поэтому характеристический многочлен равен $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ , а собственные значения — 5 и 2.

При $\lambda = 5$ у матрицы $A - 5I$ строки $(-1, 1)$ и $(2, -2)$ , и её ядро порождается вектором $\langle 1, 1 \rangle$ . При $\lambda = 2$ у $A - 2I$ строки $(2, 1)$ и $(2, 1)$ , что даёт $\langle -1, 2 \rangle$ . Проверка проста: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ — ровно впятеро больше исходного вектора.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\lambda = 5,\ 2

Как мы поняли вашу задачу

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Пошаговое решение

Составляем характеристическое уравнение
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Для матрицы 2×2 оно имеет вид λ² − (след)λ + определитель
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Характеристический многочлен
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Собственные векторы для λ = 5: решаем (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Собственные векторы для λ = 2: решаем (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Использованные формулы

Характеристическое уравнение
$\det(\lambda I - A) = 0$
Уравнение для собственного вектора
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Собственные значения — корни характеристического многочлена. Собственные векторы: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Проверка

Сумма собственных значений ≈ 7 равна следу 7.
Произведение собственных значений равно определителю 10.

Подробное объяснение

Шаг 1: характеристический многочлен

Для матрицы 2×2 многочлен можно сразу записать как $\lambda^2 - (\text{след})\lambda + \det$ . Для матриц большего размера калькулятор раскладывает $\det(\lambda I - A)$ по алгебраическим дополнениям. Симметричная матрица 3×3 со строками $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ и $(0, 4, 9)$ даёт $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Две быстрые проверки ловят большинство ошибок в вычислениях. Коэффициент при $\lambda^{n-1}$ равен следу со знаком минус, здесь $-(2 + 3 + 9) = -14$ , а свободный член равен $(-1)^n \det A$ , здесь $-22$ , потому что определитель равен 22.

Шаг 2: нахождение корней

При целых коэффициентах каждое рациональное собственное значение делит свободный член, поэтому калькулятор перебирает делители 22, находит $\lambda = 1$ , делит многочлен на $(\lambda - 1)$ и раскладывает оставшийся квадратный трёхчлен. Собственные значения равны 11, 2 и 1, и их сумма 14 действительно совпадает со следом.

Если оставшийся квадратный множитель не раскладывается над рациональными числами, формула корней квадратного уравнения даёт точные выражения с радикалами. Для $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ многочлен $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ имеет корни $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , примерно 5,372 и $-0.372$ . Если дискриминант отрицателен, корни комплексно сопряжённые; матрица поворота $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ даёт $\lambda^2 + 1 = 0$ , то есть $\lambda = \pm i$ , а это значит, что поворот на 90° не сохраняет ни одного вещественного направления.

Шаг 3: собственные векторы из ядра

Подставьте каждое собственное значение в $A - \lambda I$ и решите однородную систему методом Гаусса. Поскольку матрица необратима, хотя бы одна строка обнулится и останется свободная переменная. Если придать свободной переменной удобное значение и выполнить обратную подстановку, получится собственный вектор, который калькулятор сокращает до небольших целых чисел.

Для $\lambda = 11$ в примере 3×3 у $A - 11I$ строки $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ и $(0, 4, -2)$ . Первая строка даёт $v_1 = 0$ , а две другие означают $v_3 = 2v_2$ : получаем $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . У симметричных матриц, как эта, собственные значения всегда вещественны, а собственные векторы попарно ортогональны, что можно проверить скалярным произведением.

Кратные собственные значения и диагонализация

Собственное значение, которое встречается среди корней $k$ раз, имеет алгебраическую кратность $k$ . Число соответствующих линейно независимых собственных векторов — его геометрическая кратность, и она может быть меньше. У $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ и $2I$ одно и то же двукратное собственное значение 2, но у первой лишь одно собственное направление, $\langle 1, 0 \rangle$ , а у второй их два: $\langle 1, 0 \rangle$ и $\langle 0, 1 \rangle$ .

Матрицу можно записать в виде $PDP^{-1}$ , с собственными значениями на диагонали $D$ и собственными векторами в столбцах $P$ , тогда и только тогда, когда геометрическая кратность каждого собственного значения равна его алгебраической кратности. Диагонализация упрощает возведение в степень, поскольку $A^k = PD^kP^{-1}$ , и именно так собственные значения предсказывают долгосрочное поведение моделей численности популяций и цепей Маркова.

Полезные приёмы

Собственные значения треугольной матрицы — её диагональные элементы: матрица со строками $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ и $(0, 0, 6)$ без всяких вычислений имеет собственные значения 6, 4 и 1. Матрица обратима тогда и только тогда, когда 0 не является её собственным значением, а собственные значения $A^{-1}$ — это величины, обратные собственным значениям $A$ , с теми же собственными векторами.

Простые изменения матрицы сдвигают её собственные значения предсказуемо. Если прибавить единичную матрицу, умноженную на $c$ , каждое собственное значение увеличится на $c$ ; если умножить матрицу на число, каждое собственное значение умножится на это число; если возвести её в степень $k$ , каждое собственное значение возведётся в степень $k$ , и всё это без изменения собственных векторов. У матрицы и транспонированной к ней одинаковые собственные значения, но в общем случае разные собственные векторы. Эти свойства помогают проверять ответы и предсказывать результат до вычислений.

Типичные ошибки

Вычислять $\det(A) - \lambda$ вместо $\det(A - \lambda I)$ ; $\lambda$ нужно вычитать из каждого диагонального элемента.
Принимать нулевой вектор за собственный; собственный вектор по определению ненулевой.
Ошибиться в многочлене, а затем получить ядро, содержащее только нулевой вектор.
Считать, что у любой матрицы вещественные собственные значения; у поворотов и многих несимметричных матриц они комплексные.
Считать собственный вектор неверным, потому что он отличается от учебного постоянным множителем.
Объявлять матрицу диагонализуемой, не проверив геометрическую кратность кратных собственных значений.

Советы

Проверяйте, что сумма собственных значений равна следу, а их произведение — определителю.
Проверяйте каждый собственный вектор, вычисляя $A\mathbf v$ и сравнивая с $\lambda\mathbf v$ .
Собственные значения треугольных матриц считывайте прямо с диагонали.
Для матриц 3×3 раскладывайте определитель по строке или столбцу с наибольшим числом нулей.
Используйте калькулятор определителей, чтобы убедиться, что $A - \lambda I$ необратима для каждого собственного значения.
Ожидайте вещественных собственных значений и ортогональных собственных векторов, если матрица симметрична.
Сначала вынесите из матрицы общий множитель; собственные значения просто умножатся на него.

Частые вопросы

Как ввести матрицу в калькулятор собственных значений?

Пишите по одной строке матрицы на строку текста, разделяя элементы пробелами, или запишите все строки в одну, разделяя их точками с запятой, например 4 1; 2 3. Допускаются дроби, десятичные и отрицательные числа.

Какие размеры матриц поддерживаются?

Квадратные матрицы от 2×2 до 4×4. Собственные значения определены только для квадратных матриц, поэтому, например, матрица 3×2 будет отклонена с пояснением.

Находит ли калькулятор комплексные собственные значения?

Да. Если у характеристического многочлена отрицательный дискриминант, собственные значения выводятся комплексно сопряжённой парой, например λ = i и −i для матрицы поворота на 90°.

Почему мой собственный вектор отличается от учебного?

Любое ненулевое кратное собственного вектора — тоже собственный вектор. ⟨1, 1⟩ и ⟨3, 3⟩ задают одно и то же направление. Проверьте, не является ли один вектор кратным другому.

Что такое алгебраическая и геометрическая кратность?

Алгебраическая кратность показывает, сколько раз собственное значение встречается среди корней характеристического многочлена. Геометрическая кратность — это число соответствующих линейно независимых собственных векторов. Для кратных собственных значений калькулятор указывает обе.

Даёт ли калькулятор точные собственные значения или десятичные?

Точные, когда это возможно: целые числа, дроби и выражения с радикалами вроде 5/2 ± √33/2. К точным десятичным приближениям он переходит, только если корни многочлена третьей или четвёртой степени нельзя найти точно.

Как связаны собственные значения, определитель и след?

Произведение всех собственных значений равно определителю, а их сумма — следу. Для матрицы со строками (4, 1) и (2, 3) определитель равен 5 × 2 = 10, а след — 5 + 2 = 7.

Что означает нулевое собственное значение?

Что матрица вырожденная: у неё нет обратной, а её определитель равен нулю. Собственные векторы для λ = 0 порождают ядро матрицы.

Где собственные значения нужны за пределами учёбы?

В анализе колебаний, устойчивости систем управления, методе главных компонент, квантовой механике, цепях Маркова и ранжировании в поисковых системах — везде, где нужно понять, к чему приводит многократное применение линейного отображения.

Попробуйте калькулятор собственных значений

Введите квадратную матрицу и получите её точные собственные значения и собственные векторы с характеристическим многочленом и каждым шагом.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор собственных значений