Калькулятор скалярного произведения

О калькуляторе скалярного произведения

Скалярное произведение — самый простой способ сравнить два вектора. Соответствующие координаты перемножаются, а результаты складываются; получается одно число, которое показывает, насколько векторы направлены в одну сторону. С помощью этого числа находят угол между векторами, проверяют, ортогональны ли они, и проецируют один вектор на другой.

Калькулятор принимает векторы с любым числом координат, если у обоих их поровну. Он показывает произведения координат, их сумму, обе длины, угол в градусах, а также скалярную и векторную проекции первого вектора на второй. Если один из векторов нулевой, он объясняет, почему угол определить нельзя.

Что такое скалярное произведение?

Скалярное произведение векторов $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ и $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ — это $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . В отличие от векторного произведения, результат — число, а не вектор.

Геометрически $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , где $\theta$ — угол между векторами. Скалярное произведение положительно, если угол острый, равно нулю, если векторы ортогональны, и отрицательно, если угол тупой.

Как пользоваться калькулятором скалярного произведения

Введите координаты первого вектора через запятую, например 1, 2, 3.
Введите второй вектор с тем же числом координат.
Нажмите «Вычислить».
Посмотрите скалярное произведение, длины векторов и угол между ними.
Используйте шаг с проекцией, если вам нужна составляющая одного вектора в направлении другого.

Формулы

Скалярное произведение

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Длина вектора

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Угол между двумя векторами

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Проекция u на v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Разобранный пример: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

В примере используются $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ и $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Произведения координат равны 4, $-10$ и 18, их сумма равна 12.

Длины равны $\sqrt{14}$ и $\sqrt{77}$ , поэтому $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ , а угол составляет примерно $68.56°$ . Положительное скалярное произведение подтверждает, что угол острый.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

u v = 12

Как мы поняли вашу задачу

Скалярное произведение двух 3-мерных векторов.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Пошаговое решение

Перемножаем соответствующие координаты
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Складываем произведения
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Находим длины
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Угол между векторами
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ рад})$
Скалярная и векторная проекции u на v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Использованные формулы

Скалярное произведение
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

Скалярное произведение положительно, поэтому угол между векторами острый.

Проверка

Вычислено точно; скалярное произведение симметрично, поэтому v·u даёт то же значение.

Подробное объяснение

Как измерить угол и проверить ортогональность

Если выразить из геометрической формулы $\cos\theta$ , получится угол между любыми двумя ненулевыми векторами. Поскольку острый угол или тупой, определяется только знаком косинуса, для этого достаточно знака скалярного произведения — ещё до того, как вы найдёте какую-либо длину.

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Для $\langle 1, 0 \rangle$ и $\langle 0, 1 \rangle$ скалярное произведение равно 0, а угол равен $90°$ . Эта проверка работает в любой размерности; поэтому начиная с размерности четыре, где углы уже не нарисовать, ортогональность определяют через скалярное произведение.

Ортогональные проекции

Скалярная проекция $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ — это длина со знаком той «тени», которую $\mathbf{u}$ отбрасывает на прямую в направлении $\mathbf{v}$ . Векторная проекция — это единичный вектор в направлении $\mathbf{v}$ , умноженный на эту длину. Если вычесть проекцию из $\mathbf{u}$ , останется составляющая, ортогональная $\mathbf{v}$ : на этой идее основаны процесс ортогонализации Грама — Шмидта и метод наименьших квадратов.

В физике работа постоянной силы $\mathbf{F}$ , перемещающей тело на вектор $\mathbf{d}$ , равна $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : работу совершает только составляющая силы вдоль направления движения.

Свойства

Скалярное произведение симметрично, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , и дистрибутивно относительно сложения. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины — именно так и вычисляют длины. Если умножить один из векторов на $k$ , скалярное произведение тоже умножится на $k$ , а угол при положительном $k$ не изменится.

Скалярное произведение связано и с теоремой косинусов. Раскрыв $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ , получаем $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ — ровно теорему косинусов для треугольника, образованного двумя векторами и их разностью. Это тождество объясняет, почему формула угла работает.

Типичные ошибки

Ожидать вектор в ответе; скалярное произведение — одно число.
Перемножать несоответствующие координаты или брать векторы разной длины.
Забывать извлечь квадратный корень при вычислении длин.
Оставлять калькулятор в режиме радиан, когда угол нужен в градусах.
Проецировать не на тот вектор; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ и $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ различны.

Советы

Сначала проверьте ортогональность: нулевое скалярное произведение означает прямой угол.
По знаку скалярного произведения заранее определяйте, острый угол или тупой.
Если заранее нормировать векторы до длины 1, скалярное произведение сразу равно $\cos\theta$ .
Используйте калькулятор векторного произведения, если нужен вектор, ортогональный обоим.
Используйте матричный калькулятор, чтобы найти много скалярных произведений сразу как произведение матриц.
Запишите два вектора столбцами рядом, чтобы соответствующие координаты стояли друг напротив друга перед умножением.

Частые вопросы

Как найти скалярное произведение?

Перемножьте соответствующие координаты двух векторов и сложите произведения. Для ⟨1, 2, 3⟩ и ⟨4, −5, 6⟩ получается 4 − 10 + 18 = 12.

Как найти угол между двумя векторами?

Разделите скалярное произведение на произведение длин и возьмите арккосинус. Калькулятор показывает угол в градусах.

Что означает нулевое скалярное произведение?

Что векторы ортогональны (перпендикулярны), если ни один из них не нулевой.

Может ли скалярное произведение быть отрицательным?

Да. Отрицательное скалярное произведение означает, что угол между векторами больше 90°.

Работает ли калькулятор в размерности больше трёх?

Да. У векторов может быть сколько угодно координат, если у обоих их поровну.

Чем скалярное произведение отличается от векторного?

Скалярное произведение даёт число, измеряющее согласованность направлений, и работает в любой размерности. Векторное произведение даёт вектор, ортогональный обоим данным векторам, и определено только для векторов трёхмерного пространства.

Что будет, если один из векторов нулевой?

Скалярное произведение равно 0, но угол не определён, потому что у нулевого вектора нет направления. Калькулятор сообщит об этом вместо того, чтобы выдавать угол.

Попробуйте калькулятор скалярного произведения

Введите два вектора и получите скалярное произведение, угол между ними и проекцию с объяснением каждого шага.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель