Калькулятор систем уравнений

О калькуляторе систем уравнений

Система уравнений спрашивает о значениях, которые удовлетворяют нескольким уравнениям одновременно. Две прямые на координатной плоскости пересекаются в одной точке, не пересекаются вовсе или совпадают, и те же три случая встречаются в системах с любым числом неизвестных. Калькулятор определяет, какой случай перед нами, а при единственном решении даёт точные дроби, а не округлённые десятичные числа.

Он использует метод Гаусса — Жордана, систематическую процедуру, которая стоит за школьными методами подстановки и сложения. Каждое преобразование строк попадает в список: вы можете проследить вычисления, сравнить их со своим исключением и точно увидеть, где пропадает неизвестное или возникает противоречие.

Что такое система линейных уравнений?

В линейном уравнении каждое неизвестное входит только в первой степени, как в $2x + 3y = 7$ . Система — это набор таких уравнений с одними и теми же неизвестными. Решение — это набор значений, при котором все уравнения одновременно обращаются в верные равенства.

При двух неизвестных каждое уравнение задаёт прямую, а решение — точку пересечения. При трёх неизвестных каждое уравнение задаёт плоскость. Система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь решений вовсе.

Как пользоваться калькулятором систем уравнений

Запишите каждое уравнение на отдельной строке, например 2x + 3y = 7 на первой и x - y = 1 на второй.
Обозначайте неизвестные любыми буквами. Члены могут стоять в обеих частях: калькулятор приведёт уравнения к стандартному виду.
Допускаются обыкновенные и десятичные дроби, например 0.5x + y/3 = 2; десятичные дроби переводятся в точные обыкновенные.
Нажмите «Решить систему». Посмотрите стандартный вид и расширенную матрицу, затем список преобразований строк.
Прочитайте вывод: единственное решение, параметрическую запись бесконечного множества решений или противоречие, доказывающее, что решений нет.

Формулы

Матричная запись

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Коэффициенты образуют $A$ , правые части — $\mathbf{b}$ ; расширенная матрица — это $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Элементарные преобразования строк

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Ни одно из них не меняет множество решений.

Правило Крамера (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Для $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ с ненулевым определителем.

Разобранный пример: 2x + 3y = 7, x − y = 1

В примере решается система $2x + 3y = 7$ и $x - y = 1$ . Калькулятор составляет расширенную матрицу, делит первую строку так, чтобы её первый коэффициент стал равен 1, исключает $x$ из второй строки, а затем $y$ из первой.

Ответ читается прямо из приведённой матрицы: $x = 2$ и $y = 1$ . Подстановка даёт $2(2) + 3(1) = 7$ и $2 - 1 = 1$ : оба уравнения выполнены.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

x = 2,\ y = 1

Как мы поняли вашу задачу

Линейных уравнений: 2, неизвестных: 2 (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Пошаговое решение

Записываем каждое уравнение в стандартном виде
Переносим все члены с переменными влево, а свободные члены вправо.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Составляем расширенную матрицу [A | b]
Столбцы: x, y | свободный член.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Метод Гаусса — Жордана
С помощью элементарных преобразований строк делаем каждый ведущий элемент равным 1 и обнуляем остальные элементы его столбца.
Делим R1 на 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Делим R2 на -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Приведённый ступенчатый вид
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Выписываем единственное решение
$x = 2,\ y = 1$

Использованные формулы

Матричная запись
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Элементарные преобразования строк
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Система имеет ровно одно решение; при подстановке оно обращает каждое уравнение в верное равенство.

Проверка

Уравнение 1: 2x + 3y = 7 ✓
Уравнение 2: x - y = 1 ✓

Подробное объяснение

Метод сложения, метод подстановки и матрицы

В методе подстановки одно уравнение решают относительно одного неизвестного и подставляют результат в остальные. В методе сложения складывают уравнения, умноженные на подходящие числа, чтобы одно неизвестное исчезло. Метод Гаусса — Жордана — это метод сложения с фиксированным порядком действий над расширенной матрицей: в каждом столбце выбирают ведущий элемент, делают его равным 1 и обнуляют все остальные коэффициенты этого столбца.

Матричная запись — не другой метод, а лишь более наглядная форма записи. Каждая строка — это уравнение без названий неизвестных, а каждое преобразование строк — то, что вы могли бы проделать с уравнениями вручную. Поскольку вычисления ведутся в точных дробях, никакая ошибка округления не превратит недоопределённую систему в ложное единственное решение.

Как распознать отсутствие решений или их бесконечное множество

Если при исключении появляется строка вида $[0\ 0 \mid 5]$ , она означает $0 = 5$ , что невозможно: система несовместна. Геометрически это параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.

Если строка целиком состоит из нулей, $[0\ 0 \mid 0]$ , соответствующее уравнение было комбинацией остальных и не несёт информации. Если ведущих элементов меньше, чем неизвестных, неизвестные без ведущего элемента свободны. Калькулятор помечает их как параметры и выражает через них остальные неизвестные, описывая всю прямую или плоскость решений.

Системы большего размера

Три уравнения с тремя неизвестными решаются по той же схеме, только с ещё одним столбцом. Метод работает для систем любого размера, а калькулятор принимает системы, в которых уравнений больше или меньше, чем неизвестных, и в каждом случае честно сообщает результат.

Типичные ошибки

Умножая уравнение на число, умножать только одну часть или лишь некоторые члены.
Терять знак минус при вычитании одного уравнения из другого; вычитайте все члены, в том числе правую часть.
Считать, что у системы всегда ровно одно решение. Следите за противоречиями и нулевыми строками.
Записывать неизвестные в разных уравнениях в разном порядке, из-за чего столбцы матрицы смещаются.
Округлять дроби посреди вычислений, из-за чего совместная система может показаться противоречивой.

Советы

Прежде чем начать, расположите неизвестные во всех уравнениях в одном и том же порядке.
Сначала исключайте неизвестное с самыми простыми коэффициентами.
Подставляйте решение во все исходные уравнения, а не только в последнее использованное.
При двух неизвестных постройте обе прямые, чтобы заранее понять, пересекутся ли они один раз, ни разу или совпадут.

Частые вопросы

Сколько уравнений нужно для трёх неизвестных?

Как правило, три независимых уравнения. Если их меньше, остаются свободные неизвестные и бесконечно много решений; если больше, дополнительные уравнения должны быть согласованы с остальными.

Что означает сообщение «Нет решений»?

При исключении получилось невозможное равенство вроде 0 = 5. Уравнения противоречат друг другу; при двух неизвестных прямые параллельны.

Что такое свободные неизвестные?

Это неизвестные, которые после исключения остаются без ведущего элемента. Они могут принимать любые значения, а остальные неизвестные выражаются через них, что даёт бесконечно много решений.

Можно ли вводить уравнения с неизвестными в обеих частях?

Да. Перед исключением каждое уравнение приводится к стандартному виду: члены с неизвестными слева, свободный член справа.

Почему решения записаны дробями, а не десятичными числами?

Калькулятор работает в точной рациональной арифметике, поэтому решения вроде 7/3 остаются точными. Переводите их в десятичные дроби только в самом конце, если этого требует ваш курс.

Решает ли он нелинейные системы вроде x в квадрате плюс y в квадрате равно 25?

Нет. Этот калькулятор предназначен для линейных систем. Для отдельного алгебраического уравнения используйте калькулятор уравнений; точки пересечения кривых можно увидеть на графике в построителе графиков.

Попробуйте калькулятор систем уравнений

Введите по одному уравнению в строке и проследите каждое преобразование строк вплоть до точного решения.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель