Как найти обратную матрицу

Что такое обратная матрица?

Для чисел обратное к 5 равно $\frac{1}{5}$, потому что $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Для матриц деления нет, но та же идея работает. Обратная к квадратной матрице $A$ — это матрица $A^{-1}$, для которой выполняется:

Здесь $I$ — единичная матрица, матричный аналог числа 1. Если $A$ описывает отображение, например поворот и растяжение плоскости, то $A^{-1}$ — отображение, которое возвращает всё в исходное положение. Обратную могут иметь только квадратные матрицы, и не все из них её имеют. Матрицу, у которой есть обратная, называют обратимой или невырожденной; матрицу без обратной — вырожденной.

Критерий — определитель: $A$ обратима тогда и только тогда, когда $\det(A) \ne 0$. Нулевой определитель означает, что матрица сжимает пространство до меньшей размерности: разные входы попадают в один и тот же выход, и отображение нельзя обратить.

Формула для матриц 2 на 2

Для матрицы $2 \times 2$ есть короткая формула: поменяйте местами элементы главной диагонали, смените знак двух других и разделите на определитель.

Напротив, у $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ определитель равен $4 - 4 = 0$. Её первая строка вдвое больше второй: обратной у неё нет, и формула заставила бы вас делить на ноль.

Метод Гаусса — Жордана для любого размера

Для матриц $3 \times 3$ и больше стандартным является метод Гаусса — Жордана. Запишите $A$ и единичную матрицу рядом в расширенную матрицу $[A \mid I]$. Элементарными преобразованиями строк превратите левую половину в $I$. Те же преобразования превратят правую половину в $A^{-1}$. Если слева появится нулевая строка, матрица вырождена и обратной не имеет.

У этой матрицы определитель случайно равен 1, поэтому её обратная содержит только целые числа. Большинство обратных матриц содержат дроби: всё время работайте с дробями, а не с округлёнными десятичными.

Формула через присоединённую матрицу

Есть и формула, обобщающая правило для $2 \times 2$. Замените каждый элемент его алгебраическим дополнением — минором со знаком, полученным вычёркиванием строки и столбца этого элемента: так вы получите матрицу алгебраических дополнений. Затем транспонируйте её, чтобы получить присоединённую матрицу $\operatorname{adj}(A)$:

Эта формула полезна в теории и для матриц $3 \times 3$ с простыми элементами, но для матрицы $3 \times 3$ ей нужно девять определителей $2 \times 2$, а объём работы с ростом размера увеличивается очень быстро. Для любой матрицы побольше практичным выбором остаётся метод Гаусса — Жордана.

Решение систем с помощью обратной матрицы

Систему линейных уравнений вида $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ решают, умножая обе части слева на $A^{-1}$, что даёт $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Это аналог решения $5x = 10$ делением на 5.

Способ особенно удобен, когда нужно решить несколько систем с одинаковыми коэффициентами, но разными правыми частями: обратная матрица вычисляется только один раз. Для одной системы метод Гаусса обычно быстрее, как объясняет руководство по решению систем уравнений.

Свойства обратной матрицы

• Обратная к произведению меняет порядок на противоположный — так же, как вы сначала снимаете обувь, а потом носки, в порядке, обратном одеванию.
• Если $A$ обратима, её обратная единственна.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Для ненулевого числа $k$ выполняется $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Диагональную матрицу с ненулевыми диагональными элементами обращают, беря обратное к каждому диагональному элементу.

Обратная матрица на практике

Обратные матрицы незаменимы в теории и встречаются в компьютерной графике, где отмена преобразования камеры равносильна применению обратного к нему; в криптографии, где шифр Хилла расшифровывает сообщения с помощью обратной матрицы; и в статистике, где формула метода наименьших квадратов для регрессии содержит обратную матрицу.

Тем не менее численные программы редко явно вычисляют обратную матрицу лишь ради решения системы. Методы на основе исключения Гаусса быстрее и меньше страдают от ошибок округления, особенно для почти вырожденных матриц с определителем, близким к нулю. Калькулятор обратной матрицы показывает каждый шаг метода Гаусса — Жордана с точными дробями, а с помощью калькулятора матриц можно проверить, действительно ли $AA^{-1}$ равно единичной матрице.

Почему работает формула для 2 на 2

Формулу легко проверить, а понимая, почему она работает, её проще запомнить. Умножьте исходную матрицу на матрицу, в которой диагональ переставлена, а остальные элементы взяты с противоположным знаком:

Результат — определитель, умноженный на единичную матрицу. Разделив на определитель, получаем ровно единичную матрицу, а именно это и должна давать обратная. Это вычисление показывает и то, почему нулевой определитель фатален: произведение тогда становится нулевой матрицей, и никакое масштабирование не превратит её в единичную.

Типичные ошибки при обращении

• В формуле для $2 \times 2$ менять знак диагональных элементов вместо того, чтобы переставлять их.
• Забыть в конце разделить на определитель.
• Применить преобразование строки к левой половине $[A \mid I]$, но не к правой.
• Умножать $\mathbf{b}$ не с той стороны: решение равно $A^{-1}\mathbf{b}$, а $\mathbf{b}A^{-1}$ в общем случае даже не определено.
• Слишком рано округлять дроби до десятичных, так что итоговая проверка уже не даёт точно единичную матрицу.

Все эти ошибки выявляет одна и та же привычка: умножьте результат на исходную матрицу, прежде чем двигаться дальше. Проверка занимает минуту и обходится гораздо дешевле, чем потом переделывать всё вычисление.

Упражнения

Попробуйте решить их, прежде чем смотреть ответы. Сначала обратите матрицу со строками $(2, 1)$ и $(5, 3)$. Её определитель равен $6 - 5 = 1$: значит, обратная — это просто матрица с переставленной диагональю и противоположными знаками у остальных элементов, со строками $(3, -1)$ и $(-5, 2)$. Затем выясните, обратима ли матрица со строками $(3, 6)$ и $(1, 2)$. Её определитель равен $6 - 6 = 0$: она вырождена. Далее обратите диагональную матрицу с 2, 4 и 5 на диагонали: у обратной на диагонали одна вторая, одна четвёртая и одна пятая. Наконец, используйте первое решение, чтобы решить $2x + y = 4$ и $5x + 3y = 11$: умножив обратную матрицу на правую часть, получаем $x = 3(4) - 11 = 1$ и $y = -5(4) + 2(11) = 2$, и оба уравнения выполняются.

Частые вопросы