Многочлены: степень, поведение на бесконечности, корни и графики

Что делает функцию многочленом

Многочлен (полином) — это сумма слагаемых, каждое из которых равно константе, умноженной на степень $x$ с натуральным показателем:

Наибольший показатель $n$ — это степень, соответствующий коэффициент $a_n$ — старший коэффициент, а $a_0$ — свободный член, который одновременно задаёт точку пересечения графика с осью y. Степень 1 даёт прямые, степень 2 — параболы, степень 3 — кубические функции, а степень 4 — многочлены четвёртой степени. Выражения с отрицательными или дробными показателями, например $\frac{1}{x}$ или $\sqrt{x}$, а также с переменной в знаменателе или в показателе многочленами не являются.

Многочлены определены при любом действительном числе, а их графики гладкие и непрерывные, без изломов, разрывов и асимптот. Это одна из причин, почему их так охотно используют для моделирования и приближения других функций.

Поведение на бесконечности и старший член

При очень больших положительных или отрицательных $x$ старший член перевешивает все остальные, поэтому концы графика ведут себя как $a_n x^n$. Важны только две вещи: чётна или нечётна степень и какой знак у старшего коэффициента.

• Чётная степень и положительный старший коэффициент: оба конца идут вверх, как у $x^2$.
• Чётная степень и отрицательный старший коэффициент: оба конца идут вниз, как у $-x^2$.
• Нечётная степень и положительный старший коэффициент: график приходит слева снизу и уходит справа вверх, как у $x^3$.
• Нечётная степень и отрицательный старший коэффициент: график приходит слева сверху и уходит справа вниз, как у $-x^3$.

Например, у $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ нечётная степень и отрицательный старший коэффициент: график поднимается влево и опускается вправо, какими бы большими ни казались остальные коэффициенты. Следовательно, многочлен нечётной степени всегда хотя бы раз пересекает ось x, так как его концы уходят в противоположные стороны.

Корни, линейные множители и кратность

Корень многочлена $p$ — это значение $c$, при котором $p(c) = 0$. Корни — это абсциссы точек, где график пересекает ось x, и каждому действительному корню $c$ соответствует линейный множитель $(x - c)$. Поэтому разложение на множители — главный инструмент поиска корней благодаря свойству нулевого произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Если линейный множитель встречается несколько раз, корень имеет кратность больше единицы, и график ведёт себя в нём иначе. В корне нечётной кратности график пересекает ось; при чётной кратности он касается оси и возвращается на ту же сторону. Чем выше кратность, тем более пологим становится график вблизи корня.

Многочлен степени $n$ имеет не более $n$ действительных корней и не более $n - 1$ точек локального экстремума, то есть максимумов и минимумов графика. У кубической функции может быть одна или две точки локального экстремума или ни одной, как показывает $x^3$. Способы нахождения множителей подробно разбирает руководство по разложению многочленов на множители.

Теорема Безу и её следствие

При делении многочлена $p(x)$ на $(x - c)$ остаток — просто число, и теорема Безу утверждает, что это число равно $p(c)$. Отсюда сразу следует: $(x - c)$ является множителем тогда и только тогда, когда $p(c) = 0$.

Напротив, $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$: при делении $p(x)$ на $(x - 2)$ остался бы остаток $-4$, и $(x - 2)$ множителем не является.

Схема Горнера

Схема Горнера — компактный способ деления на $(x - c)$, использующий только коэффициенты. Для примера 3 запишите $c = 1$ и коэффициенты $1, -2, -5, 6$.

1. Перенесите вниз первый коэффициент: 1.
2. Умножьте его на $c$ и прибавьте результат к следующему коэффициенту: $1 \times 1 = 1$, и $-2 + 1 = -1$.
3. Повторите: $-1 \times 1 = -1$, и $-5 + (-1) = -6$.
4. Повторите: $-6 \times 1 = -6$, и $6 + (-6) = 0$.
5. Последнее число, 0, — это остаток. Остальные, $1, -1, -6$, — коэффициенты частного: $x^2 - x - 6$.

Каждой степени $x$ нужно своё место: пишите 0 вместо каждого отсутствующего члена. Чтобы разделить $x^3 - 8$ на $(x - 2)$, берут коэффициенты $1, 0, 0, -8$ и получают частное $x^2 + 2x + 4$ без остатка, то есть с остатком 0.

Схема Горнера работает только с делителями вида $x - c$. Чтобы разделить на $2x - 1$, разделите на $x - \frac{1}{2}$, а затем частное на 2, или воспользуйтесь делением многочленов уголком.

Сколько корней: основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры гарантирует, что многочлен степени $n \ge 1$ имеет ровно $n$ комплексных корней, если каждый считать столько раз, какова его кратность. Одни могут быть действительными, другие комплексными. Если коэффициенты действительные, комплексные корни появляются сопряжёнными парами: если $2 + 3i$ — корень, то и $2 - 3i$ тоже.

Это объясняет, почему кубическая функция с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень: три корня не могут все быть комплексными, ведь комплексные корни идут парами. А многочлен четвёртой степени может вообще не иметь действительных корней, как показывает $x^4 + 1$.

Если корень нельзя найти точно, его помогает локализовать теорема о промежуточном значении. Для $p(x) = x^3 + x - 1$ имеем $p(0) = -1$ и $p(1) = 1$. Поскольку графики многочленов не имеют разрывов, график должен пересечь ось где-то между 0 и 1; численно корень равен примерно $0.6823$.

Как составить многочлен по его корням

И наоборот, корни определяют многочлен с точностью до постоянного множителя. Пусть квадратичная функция имеет корни 2 и $-1$ и проходит через $(0, 4)$. Тогда она обязательно имеет вид $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. Подстановка точки даёт $4 = a(-2)(1)$, значит, $a = -2$ и $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Раскрытие скобок и проверка $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ и $f(-1) = 0$ подтверждают результат.

Эскиз графика многочлена

1. Определите степень и старший коэффициент, чтобы установить поведение на бесконечности.
2. Разложите на множители, чтобы найти корни и их кратности.
3. Отметьте точку пересечения с осью y, заданную свободным членом.
4. В каждом корне по кратности решите, пересекает график ось или касается её.
5. Соедините точки гладкой кривой, которая соблюдает поведение на бесконечности и имеет не более $n - 1$ локальных максимумов и минимумов.

Так вы получите надёжную форму, но не точные высоты максимумов и минимумов: для них нужно дифференциальное исчисление. Сравнить эскиз с построителем графиков — хороший способ обрести уверенность.

Приложение: самая вместительная открытая коробка

Из листа картона 10 на 16 сантиметров в каждом углу вырезают квадрат со стороной $x$ и загибают края вверх, получая открытую коробку. Объём равен $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Так как все длины должны быть положительными, осмысленная область определения — $0 < x < 5$.

Корни 0, 5 и 8 показывают, где объём обращается в ноль. Между ними объём растёт, а затем снова убывает, и дифференциальное исчисление находит максимум: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, что обращается в ноль при $x = 2$ внутри области определения. Самая вместительная коробка имеет объём $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ кубических сантиметра. Руководство по правилам дифференцирования показывает, как вычислять такие производные.

Частые ошибки

• Определять поведение на бесконечности по первому записанному члену, а не по члену наибольшей степени.
• Забывать нулевые коэффициенты отсутствующих степеней в схеме Горнера.
• Считать, что график пересекает ось в каждом корне, и упускать чётные кратности.
• Указывать больше $n - 1$ локальных максимумов и минимумов.
• Путать корень $c$ со знаком в линейном множителе: корню 3 соответствует множитель $(x - 3)$.

Калькулятор многочленов находит корни, раскладывает на множители и делит многочлены, показывая каждый шаг: используйте его, чтобы проверить примеры выше.

Частые вопросы