Дифференцирование неявной функции шаг за шагом

Явные и неявные уравнения

Явное уравнение задаёт $y$ прямо формулой от $x$, например $y = x^2 + 1$. Однако многие важные кривые описываются неявно — уравнением, связывающим $x$ и $y$. Окружность $x^2 + y^2 = 25$ — знакомый пример. Если выразить $y$, получатся две функции, $y = \sqrt{25 - x^2}$ для верхней половины и $y = -\sqrt{25 - x^2}$ для нижней, и дифференцировать каждую по отдельности утомительно.

Для других кривых $y$ вообще нельзя выразить элементарными преобразованиями, например для $x^3 + y^3 = 6xy$ или $e^y + xy = e$. Тем не менее их графики почти везде имеют касательную, и дифференцирование неявной функции — инструмент для нахождения этих угловых коэффициентов. Метод целиком опирается на правило дифференцирования сложной функции: повторите правила дифференцирования с объяснениями, если это правило вам ещё не до конца понятно.

Метод в четыре шага

1. Продифференцируйте обе части уравнения по $x$.
2. Каждый раз, дифференцируя слагаемое с $y$, умножайте на $\frac{dy}{dx}$, потому что $y$ — функция от $x$ и действует правило сложной функции.
3. Перенесите все слагаемые с $\frac{dy}{dx}$ в одну сторону, а всё остальное — в другую.
4. Вынесите $\frac{dy}{dx}$ за скобки и разделите, чтобы его выразить.

Суть шага 2 — следующее тождество из правила сложной функции, где $f$ — любая дифференцируемая функция:

Поэтому $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ и $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Произведения вроде $xy$ дополнительно требуют правила произведения: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Пример: окружность

Заметьте, что неявный результат верен сразу для обеих половин: в точке $(3, -4)$ угловой коэффициент равен $+\frac{3}{4}$. Формула также показывает, где касательные горизонтальны — при $x = 0$, в точках $(0, 5)$ и $(0, -5)$, — и где вертикальны — при $y = 0$, в точках $(5, 0)$ и $(-5, 0)$. Результат содержит не только $x$, но и $y$, и для производной неявной функции это нормально: чтобы получить число, нужна точка кривой, а не только значение $x$.

Примеры, где y нельзя выразить

Вторые производные

Чтобы получить $\frac{d^2y}{dx^2}$, ещё раз неявно продифференцируйте первую производную, а затем подставьте в результат саму первую производную. Для окружности начните с $y' = -\frac{x}{y}$ и примените правило частного:

Последний шаг упрощает выражение с помощью исходного уравнения $x^2 + y^2 = 25$ — приём, который часто помогает. Результат отрицателен на верхней половине, где $y > 0$, значит, кривая там выпукла вверх, и положителен на нижней половине, где она выпукла вниз, что согласуется с формой окружности.

Производные обратных функций

Дифференцирование неявной функции объясняет, откуда берутся производные обратных функций. Пусть $y = \arctan x$. Тогда $\tan y = x$. Дифференцирование даёт $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, значит, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Тот же приём для $y = \ln x$, переписанного как $e^y = x$, даёт $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, откуда $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. В общем случае угловой коэффициент обратной функции — величина, обратная угловому коэффициенту исходной функции в соответствующей точке, как объясняет наша статья об обратных функциях.

Связанные скорости

Если переменные зависят от времени, та же идея работает при дифференцировании по $t$ вместо $x$. У каждой переменной своя скорость изменения.

Типичные ошибки

• Забыть множитель $\frac{dy}{dx}$ при дифференцировании слагаемого с $y$.
• Считать $xy$ одной переменной вместо применения правила произведения.
• Дифференцировать константу в правой части, будто она переменная; производная константы равна 0.
• Подставлять числа до дифференцирования, «замораживая» переменные величины.
• Использовать точку, которая вообще не лежит на кривой. Всегда сначала проверяйте точку.

Калькулятор производной неявной функции выполняет все шаги, группирует слагаемые с производной и может вычислить угловой коэффициент в точке. Для явных функций используйте калькулятор производных.

Почему метод работает

Дифференцирование неявной функции предполагает, что вблизи рассматриваемой точки кривая действительно является графиком дифференцируемой функции $y(x)$, даже если её нельзя записать. Если подставить её в уравнение, оно становится тождеством относительно $x$, верным для всех $x$ вблизи точки. Два выражения, равные при всех $x$, имеют равные производные: поэтому и можно дифференцировать обе части.

Предположение нарушается лишь в особых точках, например там, где касательная вертикальна или кривая пересекает саму себя. Декартов лист пересекает себя в начале координат, и формула производной даёт там $\frac{0}{0}$. В таких точках кривая локально не является графиком одной функции, поэтому однозначного углового коэффициента у неё нет. Теорема о неявной функции, которую изучают в анализе функций нескольких переменных, точно говорит, когда предположение заведомо выполняется.

Короткий путь через частные производные

Если кривую можно записать как $F(x, y) = 0$, существует компактная формула для углового коэффициента, следующая из того же рассуждения:

Здесь $F_x$ и $F_y$ — частные производные, которые получают, дифференцируя по одной переменной и считая другую константой. Для окружности $F = x^2 + y^2 - 25$ даёт $F_x = 2x$ и $F_y = 2y$, так что угловой коэффициент, как и раньше, равен $-\frac{x}{y}$. Калькулятор частных производных вычислит $F_x$ и $F_y$ за вас.

Решённые упражнения

1. $x^2 - y^2 = 9$. Ответ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, угловой коэффициент в точке $(3, 4)$. Ответ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, там он равен $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Ответ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, всегда положителен, значит, кривая везде возрастает.
4. $\cos y = x$. Ответ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, что приводит к производной арккосинуса.

Проверяйте каждый результат: выберите точку кривой, оцените угловой коэффициент численно с помощью соседней точки и сравните.

Где встречаются неявные кривые

Неявные уравнения на практике встречаются часто. Конические сечения, такие как эллипсы и гиперболы, естественно записываются в неявной форме. В экономике кривая безразличия связывает количества двух благ, приносящие потребителю одинаковую полезность, а её угловой коэффициент, найденный неявно, — это предельная норма замещения, то есть пропорция, в которой потребитель готов обменять одно благо на другое. В термодинамике уравнения состояния связывают давление, объём и температуру, и дифференцирование неявной функции показывает, как меняется одна величина при изменении другой. Всякий раз, когда две величины связаны соотношением, а не формулой, этот метод даёт скорость изменения одной относительно другой.

Частые вопросы