Ряды Тейлора: приближение функций многочленами

Идея: совпадение производных

Многочлены — самые удобные в обращении функции. Их можно вычислять одними сложениями и умножениями, а дифференцировать или интегрировать их — рутина. Функции вроде $e^x$, $\sin x$ и $\ln x$ вручную вычислять гораздо труднее. Идея ряда Тейлора — найти многочлен, который вблизи выбранной точки $a$ ведёт себя как функция.

Прямая, лучше всего прилегающая к кривой в точке, — это касательная: в этой точке у неё то же значение и та же первая производная, что и у функции. Парабола может дополнительно иметь ту же вторую производную и тем самым повторять кривизну графика. Кубическая функция может совпадать ещё и по третьей производной, и так далее. Каждая новая совпадающая производная заставляет многочлен держаться функции на всё большем участке вокруг точки. Если продолжать так без конца, получится ряд Тейлора.

Формула ряда Тейлора

Если потребовать, чтобы $n$-я производная многочлена в точке $a$ равнялась $f^{(n)}(a)$, коэффициент при $(x - a)^n$ должен быть равен $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Факториал появляется потому, что $(x - a)^n$, продифференцированное $n$ раз, даёт $n!$. Полный ряд имеет вид:

При $a = 0$ ряд называют рядом Маклорена, и степени — просто $x^n$. Многочлен из членов до $(x - a)^n$ — это многочлен Тейлора степени $n$, обозначаемый $P_n(x)$. Первые два члена сами по себе дают приближение касательной, называемое также линеаризацией.

Строим ряд экспоненты

Подставив $x = 1$, получим знаменитую формулу для самой константы: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, которая уже через дюжину членов даёт 2,71828, потому что факториалы растут очень быстро.

Разложения, которые стоит знать

Эти ряды Маклорена встречаются постоянно, и почти все остальные можно получить из них подстановкой, умножением, дифференцированием или интегрированием:

В ряде синуса только нечётные степени, что согласуется с тем, что синус — нечётная функция, а в ряде косинуса только чётные, что соответствует его симметрии. Если почленно продифференцировать ряд синуса, получится ряд косинуса — ровно так, как производная $\sin x$ и должна быть равна $\cos x$.

Для проверки: $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, а точное значение равно $0.0998334$. Два члена уже дают шесть верных знаков после запятой: поэтому калькуляторы так быстро вычисляют тригонометрические функции с помощью коротких многочленов.

Разложение в точке, отличной от нуля

Если выбрать $a$ рядом с нужным значением, приближение сходится гораздо быстрее. Чтобы оценить $\sqrt{4.1}$, разложите $\sqrt{x}$ в точке $a = 4$, где квадратный корень известен сразу.

Насколько велика погрешность?

Теорема Тейлора даёт погрешность многочлена Тейлора. Если $|f^{(n+1)}| \le M$ между $a$ и $x$, то остаточный член после члена степени $n$ удовлетворяет неравенству:

Для $e^{0.5}$ при $n = 3$ четвёртая производная $e^t \le e^{0.5} < 2$ на этом отрезке, поэтому погрешность не больше $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. Фактическая погрешность, $0.0029$, укладывается в эту границу. Она работает и в обратную сторону: говорит, сколько членов нужно, чтобы гарантировать заданную точность, ещё до начала вычислений.

Для знакочередующихся рядов, таких как ряды синуса и косинуса, есть ещё более простая оценка: погрешность не превосходит первого отброшенного члена. Идеи, стоящие за этим правилом, разобраны в статье признаки сходимости рядов.

Где ряд сходится

Ряд Тейлора не всегда и не везде совпадает со своей функцией. Геометрический ряд для $\frac{1}{1 - x}$ работает только при $|x| < 1$; при $x = 2$ левая часть равна $-1$, а члены ряда неограниченно растут. Множество значений $x$, при которых ряд сходится, — это интервал вокруг $a$, и его половина ширины есть радиус сходимости. Обычно его находят с помощью признака Даламбера.

Ряды для $e^x$, $\sin x$ и $\cos x$ сходятся при всех действительных $x$. Ряд для $\ln(1 + x)$ сходится при $-1 < x \le 1$; при $x = 1$ он даёт неожиданный результат $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, хотя и сходится очень медленно.

Зачем нужны ряды Тейлора

• Вычисление функций: калькуляторы и программы используют полиномиальные приближения, очень похожие на многочлены Тейлора.
• Пределы: заменив $\sin x$ на $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$, видно, что $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$, без правила Лопиталя.
• Интегралы без элементарной первообразной: почленное интегрирование ряда для $e^{-x^2}$ даёт $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, очень близко к точному значению $0.7468$.
• Физика: приближение малых углов $\sin\theta \approx \theta$ для маятника — это первый член ряда синуса.
• Формула Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, получаемая сравнением трёх рядов.

Калькулятор рядов Тейлора раскладывает любую функцию до нужного порядка в любой точке и показывает каждую производную. Умение дифференцировать здесь необходимо, поэтому хорошим дополнением будут правила дифференцирования с объяснениями.

Порядок действий для любого многочлена Тейлора

1. Выберите точку разложения $a$: точку рядом с тем местом, где нужны значения, в которой функцию и её производные легко вычислить.
2. Продифференцируйте функцию столько раз, сколько требует нужная степень, и упростите каждую производную.
3. Вычислите каждую производную в точке $a$.
4. Разделите значение $n$-го порядка на $n!$, чтобы получить каждый коэффициент.
5. Запишите многочлен по степеням $(x - a)$, а не $x$, кроме случая $a = 0$.
6. Проверьте первый коэффициент: $P_n(a)$ должно равняться $f(a)$, а угловой коэффициент $P_n$ в точке $a$ — равняться $f'(a)$.

Часто быстрее построить новый ряд из известного, чем многократно дифференцировать. Например, заменив в ряде $e^x$ переменную $x$ на $-x^2$, сразу получаем $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, а умножив ряд синуса на $x$, получаем ряд для $x\sin x$.

Приближения на графике

Постройте $\cos x$ вместе с его многочленами Тейлора степени 2, 4 и 6, и проявится чёткая закономерность. Многочлен степени 2, парабола с ветвями вниз, хорошо повторяет косинусоиду около нуля, но примерно через единицу отходит от неё. Многочлен степени 4 дольше остаётся рядом, а степени 6 повторяет кривую почти на всей её первой волне. Каждый многочлен в конце концов уходит в бесконечность, потому что ни один многочлен не может колебаться вечно, но чем больше членов добавлено, тем дальше происходит это расхождение: именно это и означает сходимость ряда на практике.

Такая картинка — лучший способ развить интуицию: приближение отлично вблизи точки разложения и ухудшается с удалением от неё. Построитель графиков может нарисовать функцию вместе с несколькими её многочленами Тейлора, чтобы вы увидели, как они сходятся.

Частые вопросы