Z-оценка на решённых примерах

Что измеряет z-оценка

Сам по себе исходный балл мало о чём говорит. 85 баллов за контрольную звучат хорошо, но если все остальные набрали 95, это на деле слабый результат. Z-оценка, или стандартизованное значение, решает эту проблему, оценивая значение относительно его группы. Она отвечает на единственный вопрос: на сколько стандартных отклонений это значение удалено от среднего?

Здесь $x$ — значение, $\mu$ — среднее, $\sigma$ — стандартное отклонение. Положительная z-оценка означает, что значение выше среднего; отрицательная — что ниже; ноль — что оно в точности равно среднему. Z-оценка 2 означает два стандартных отклонения выше среднего, что для большинства наборов данных необычно высоко. Как вычислить само стандартное отклонение, читайте в статье как вычислить стандартное отклонение.

Пошаговое вычисление z-оценки

Единицы измерения всегда сокращаются, потому что числитель и знаменатель выражены в исходных единицах. Именно это делает z-оценки безразмерными и сравнимыми между совершенно разными величинами.

Сравнение результатов в разных шкалах

Самое практичное применение z-оценок — честное сравнение. Предположим, ученица набрала 82 балла по химии при среднем 75 и стандартном отклонении 5 и 88 баллов по истории при среднем 80 и стандартном отклонении 8. Балл по истории выше, но какой результат впечатляет больше?

По сравнению с другими учениками результат по химии лучше: 1,4 стандартного отклонения выше среднего против 1,0. Та же идея позволяет исследователям сравнивать измерения разных приборов, а аналитикам — сравнивать показатели компании с отраслями, типичные значения которых сильно различаются.

От z-оценки обратно к исходному значению

Если разрешить формулу в обратную сторону, получится исходное значение, соответствующее данной z-оценке:

Для теста со средним 70 и стандартным отклонением 10 z-оценка $-1.2$ соответствует значению $70 + (-1.2)(10) = 58$. Эта форма удобна для установления пороговых значений, например чтобы узнать, какой балл нужен ученику, чтобы попасть в лучшие 10 процентов, как показывает пример 4 ниже.

От z-оценок к процентилям

Если данные подчиняются нормальному распределению — гауссовой колоколообразной кривой, — z-оценку можно перевести в процентиль, то есть долю значений, лежащих ниже. Стандартное нормальное распределение имеет среднее 0 и стандартное отклонение 1, а его функция распределения, обозначаемая $\Phi(z)$, даёт эту долю. Несколько ориентиров стоит запомнить:

• $\Phi(0) = 0.5$: среднее соответствует 50-му процентилю.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ и $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$: значит, ученик из примера 1 обошёл примерно 93 процента класса.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$: значит, ученица из примера 2 находится примерно на 21-м процентиле.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, поэтому значение 1,96 появляется в 95-процентных доверительных интервалах.

Эмпирическое правило подытоживает колоколообразную кривую: около 68 процентов значений лежат ближе одного стандартного отклонения от среднего, около 95 процентов — ближе двух и около 99,7 процента — ближе трёх. Поэтому значения с $|z| > 3$ редки и часто проверяются как возможные выбросы.

Z-оценки для выборочных средних

Средние колеблются меньше, чем отдельные значения. Если брать выборки объёма $n$ из генеральной совокупности со средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$, выборочное среднее имеет стандартное отклонение $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, называемое стандартной ошибкой. Z-оценка выборочного среднего равна

Например, если у 25 учеников, писавших тест выше, среднее 73, стандартная ошибка равна $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$, а $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Три лишних балла — обычное дело для одного ученика, но довольно необычно для среднего 25 учеников. Эта формула — отправная точка для z-критериев и доверительных интервалов во вводных курсах статистики.

На что обращать внимание при работе с z-оценками

• Переводить z-оценки в процентили через $\Phi$ допустимо, только если данные распределены примерно нормально. Для сильно скошенных данных, таких как доходы, процентили лучше находить прямо по данным.
• Используйте стандартное отклонение генеральной совокупности, если оно известно, а иначе — выборочное стандартное отклонение как оценку; для малых выборок приходится переходить к распределению Стьюдента.
• Z-оценка описывает положение внутри группы. Сравнение z-оценок из групп с очень разным уровнем всё равно может вводить в заблуждение.
• Сохраняйте знак. Z-оценки $-2$ и $2$ одинаково необычны, но означают противоположное.

Калькулятор z-оценки находит z-оценки, процентили и площадь между двумя значениями, а калькулятор стандартного отклонения заранее даст вам нужные среднее и стандартное отклонение.

Где z-оценки встречаются на практике

В отчётах о стандартизированных тестах исходные баллы часто переводят в стандартные баллы или процентили, основанные на той же идее, что и z-оценка. Педиатры отслеживают рост и вес ребёнка по кривым роста, а некоторые клинические инструменты выдают эти показатели прямо в виде z-оценок для возраста ребёнка. Денситометрия костей даёт T-критерий — z-оценку, вычисленную относительно здоровых молодых взрослых. Инженеры по качеству отмечают детали, размеры которых отклоняются от номинала более чем на три стандартных отклонения, а финансовые аналитики стандартизируют доходность, чтобы сравнивать фонды с разным риском в одной шкале.

Упражнения

1. У набора данных среднее 50 и стандартное отклонение 4. Найдите z-оценку значения 56. Решение: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. У результатов теста среднее 100 и стандартное отклонение 15. Какое значение соответствует $z = -2$? Решение: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Значения распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля лежит ниже 650? Решение: $z = 1.5$, то есть примерно $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, или 93 процента.

Частые вопросы