Среднее, медиана, мода и стандартное отклонение: полное руководство

Центр и разброс: два главных вопроса

Список чисел трудно прочитать с одного взгляда. Статистика сводит его к ответам на два вопроса. Где находится центр данных? И насколько далеко от этого центра обычно лежат значения? Меры центральной тенденции — среднее, медиана и мода — отвечают на первый вопрос. Меры разброса, например размах, межквартильный размах и стандартное отклонение, — на второй.

Нужны обе. У двух классов может быть одинаковый средний балл за контрольную, но в одном все близки к среднему, а в другом результаты простираются от провала до максимального балла. Один лишь центр скрывает эту разницу, а один лишь разброс ничего не говорит об успеваемости класса в целом.

Среднее

Среднее, или среднее арифметическое, — это сумма значений, делённая на их количество. Для набора данных $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

Среднее использует все значения, что делает его эффективным, но и чувствительным. Одно-единственное экстремальное значение, выброс, может заметно его сдвинуть. Взвешенное среднее придаёт одним значениям больший вес, чем другим. Если итоговый экзамен даёт 60 процентов оценки, а домашние работы — 40 процентов, то баллы 80 и 90 вместе дают $0.6(80) + 0.4(90) = 84$, а не простое среднее 85.

Медиана

Медиана — это среднее по положению значение после упорядочивания данных по возрастанию. При нечётном количестве значений это единственное значение в середине; при чётном — среднее двух центральных значений.

Медиана не учитывает, насколько далеко находятся крайние значения, поэтому она устойчива к выбросам. Предположим, пять человек зарабатывают 30, 35, 40, 45 и 50 тысяч долларов в год. И среднее, и медиана равны 40 тысячам. Если добавить шестого человека, зарабатывающего миллион долларов, то есть 1 000 тысяч, среднее вырастет до 200 тысяч — больше, чем зарабатывает кто-либо, кроме новичка, — а медиана поднимется лишь до 42,5 тысячи. Поэтому цены на жильё и доходы обычно указывают через медиану.

Мода

Мода — это значение, которое встречается чаще всего. В результатах теста 85 встречается трижды, поэтому мода равна 85. У набора данных может быть одна мода, две (тогда его называют бимодальным), несколько или ни одной, если каждое значение встречается ровно один раз.

Мода — единственная мера центра, пригодная для качественных данных. Нельзя усреднить любимые цвета или марки кроссовок, но можно сказать, какая из них самая популярная. Для числовых данных мода полезна прежде всего тогда, когда значения часто повторяются, например размеры в продажах обувного магазина: самый продаваемый размер — именно то, что нужно знать отделу закупок.

Какую меру центра выбрать?

• Берите среднее для примерно симметричных данных без сильных выбросов, например роста людей или погрешностей измерений.
• Берите медиану для асимметричных данных или данных с выбросами, например доходов, цен на жильё или времени ожидания.
• Берите моду для категорий или дискретных значений, где важен только самый частый вариант.

Сравнение среднего и медианы говорит и о форме данных. Если среднее заметно больше медианы, его тянет вверх длинный хвост больших значений, и распределение скошено вправо. Если среднее меньше, распределение скошено влево. В результатах теста среднее 82,1 меньше медианы 85, потому что несколько низких результатов тянут среднее вниз.

Измерение разброса: размах и стандартное отклонение

Простейшая мера разброса — размах: наибольшее значение минус наименьшее. Для результатов теста он равен $95 - 68 = 27$ баллам. Размах легко вычислить, но он целиком зависит от двух самых крайних значений. Межквартильный размах, измеряющий разброс центральной половины данных, устойчивее.

Стандартное отклонение — самая распространённая мера разброса. Оно примерно показывает типичное расстояние значения от среднего. Для всей генеральной совокупности:

Разница между делением на $n$ и на $n - 1$ и то, почему она важна, подробно объясняются в статье как вычислить стандартное отклонение.

Как сочетать подходящие показатели

Хорошая сводка набора данных содержит меру центра и меру разброса, согласованные друг с другом. Среднее естественно сочетается со стандартным отклонением, потому что оба используют все значения и оба чувствительны к выбросам. Медиана сочетается с межквартильным размахом, потому что оба устойчивы. Указывать медиану вместе со стандартным отклонением — значит смешивать две разные логики, что может запутать.

Для колоколообразных данных среднее и стандартное отклонение рассказывают удивительно полную историю: около 68 процентов значений лежат ближе одного стандартного отклонения от среднего, и около 95 процентов — ближе двух. Измерять расстояние значения от среднего в стандартных отклонениях — именно то, что делает z-оценка. Калькулятор среднего, медианы и моды вычисляет все меры из этой статьи по вставленному списку, а калькулятор стандартного отклонения показывает каждый шаг расчёта разброса.

Квартили и межквартильный размах

Квартили делят упорядоченные данные на четыре равные части. Простой способ — взять медиану каждой половины. В упорядоченных результатах нижняя половина — 68, 72, 77, 85, поэтому первый квартиль равен $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$. Верхняя половина — 85, 85, 90, 95, поэтому третий квартиль равен $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$. Межквартильный размах равен $87.5 - 74.5 = 13$ баллам — это ширина центральной половины класса.

Учебники и программы используют немного разные соглашения для квартилей, поэтому небольшие расхождения в результатах нормальны и не означают ошибки. Распространённое правило помечает как возможный выброс любое значение, лежащее более чем на 1,5 межквартильного размаха ниже первого квартиля или выше третьего. Здесь границы равны 55 и 107, так что необычных результатов нет.

Частые вопросы