Калькулятор z-оценки

О калькуляторе z-оценки

z-оценка показывает, насколько значение удалено от среднего, в единицах стандартного отклонения. Она приводит баллы разных экзаменов, рост в разных популяциях или измерения в разных единицах к общей шкале, чтобы их можно было напрямую сравнить и понять, насколько они необычны.

Калькулятор решает шесть задач с z-оценками, которые встречаются в курсе статистики: найти $z$ по значению, восстановить значение по $z$ , найти площадь слева или справа от $z$ , найти площадь между двумя z-оценками и определить z-оценку для заданного процентиля. Площади вычисляются непосредственно по стандартному нормальному распределению, так что таблица не нужна.

Что такое z-оценка?

Для значения $x$ из генеральной совокупности со средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$ z-оценка равна $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . z-оценка 0 означает, что значение равно среднему; положительная — что оно выше среднего, отрицательная — что ниже.

Если данные распределены нормально, z-оценка указывает и процентиль. Площадь под кривой стандартного нормального распределения слева от $z$ , обозначаемая $\Phi(z)$ , — это доля значений, меньших $x$ .

Как пользоваться калькулятором z-оценки

Выберите вычисление: z-оценка по x, исходное значение по z, площадь слева, площадь справа, площадь между двумя значениями или z-оценка по процентилю.
Введите данные, которые требует режим: x, среднее и стандартное отклонение; одну или две z-оценки; или процентиль.
Процентиль можно ввести десятичной дробью, например 0,95, или в процентах, например 95 %.
Нажмите «Вычислить».
Посмотрите z-оценку или площадь вместе с её толкованием в виде процентиля.

Формулы

z-оценка

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Значение по z

x = \mu + z\sigma

Площадь справа

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Площадь между двумя значениями

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Разобранный пример: x = 85, μ = 70, σ = 10

В примере берётся балл $x = 85$ в классе со средним $\mu = 70$ и стандартным отклонением $\sigma = 10$ . Вычитая среднее, получаем 15, а деля на стандартное отклонение, получаем $z = 1.5$ : балл на полтора стандартных отклонения выше среднего.

Площадь слева от $z = 1.5$ составляет примерно 0,9332: если баллы распределены нормально, ученик написал лучше примерно 93,32 % класса.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

z = 1.5

Как мы поняли вашу задачу

Z-оценка по x, среднему и стандартному отклонению

Пошаговое решение

Вычитаем среднее из значения
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Делим на стандартное отклонение
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Находим площадь слева (процентиль)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Использованные формулы

Z-оценка
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Функция стандартного нормального распределения
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 лежит выше среднего на 1.5 стандартного отклонения; примерно 93.32% нормальной совокупности лежит ниже.

Проверка

Обратная задача: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Подробное объяснение

Как читать площади под кривой нормального распределения

Вся площадь под кривой стандартного нормального распределения равна 1, а кривая симметрична относительно 0. Площадь слева от $z = 1.25$ составляет примерно 0,8944; площадь справа от $z = 1.96$ — примерно 0,025, поэтому 1,96 и появляется в 95-процентных доверительных интервалах. Площадь между $-1$ и $1$ составляет примерно 0,6827.

Из этих площадей и возникает эмпирическое правило: примерно 68 % значений нормального распределения отстоят от среднего меньше чем на одно стандартное отклонение, примерно 95 % — меньше чем на два и примерно 99,7 % — меньше чем на три.

Обратный путь: от процентиля к z-оценке

Обратный режим решает уравнение $\Phi(z) = p$ . Для 95-го процентиля он даёт $z \approx 1.645$ . Объедините это с $x = \mu + z\sigma$ , чтобы найти пороговое значение: при среднем 70 и стандартном отклонении 10 95-й процентиль находится примерно на $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

Режим «Значение по z» выполняет этот второй шаг напрямую. Если ввести $z = 1.5$ с тем же средним и тем же стандартным отклонением, он даст $x = 85$ , то есть обратит исходный пример.

Сравнение значений в разных шкалах

Предположим, один ученик набрал 85 баллов на экзамене со средним 70 и стандартным отклонением 10, а другой — 620 на экзамене со средним 500 и стандартным отклонением 100. Их z-оценки равны 1,5 и 1,2, так что первый результат относительно лучше, хотя 620 и выглядит большим числом.

z-оценки помогают и находить выбросы: значения с $|z| > 3$ редки в модели нормального распределения и заслуживают повторной проверки. Учтите, что толкование в виде процентиля предполагает примерно нормальное распределение данных; для сильно асимметричных данных z-оценка по-прежнему измеряет удалённость от среднего, но найденная площадь может вводить в заблуждение.

Типичные ошибки

Вычитать в неправильном порядке: нужно значение минус среднее, а не среднее минус значение.
Делить на дисперсию вместо стандартного отклонения.
Указывать площадь слева, когда спрашивают вероятность превысить значение.
Вводить процентиль как 95 вместо 95 % или 0,95.
Применять процентили нормального распределения к данным, которые явно не распределены нормально.

Советы

Перед вычислениями нарисуйте колоколообразную кривую и отметьте нужную область.
Пользуйтесь симметрией: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Запомните опорные значения 1,645, 1,96 и 2,576 для двусторонних интервалов 90 %, 95 % и 99 %.
Если у вас только исходные данные, сначала воспользуйтесь калькулятором стандартного отклонения.
Округляйте z-оценки до двух знаков после запятой только в самом конце.

Частые вопросы

Как найти z-оценку?

Вычтите среднее из значения и разделите на стандартное отклонение: z = (x − μ) ÷ σ. Для x = 85, μ = 70 и σ = 10 получается z = 1,5.

Что означает отрицательная z-оценка?

Что значение ниже среднего. z-оценка −2 означает, что значение на два стандартных отклонения ниже среднего.

Как перевести z-оценку в процентиль?

Найдите площадь под кривой стандартного нормального распределения слева от z. Для z = 1,5 площадь составляет примерно 0,9332, то есть 93-й процентиль.

Как найти z-оценку по процентилю?

Выберите обратный режим и введите процентиль, например 95 %. Калькулятор выдаст z ≈ 1,645.

Какая z-оценка считается хорошей?

Это зависит от контекста. Значения от −1 до 1 встречаются часто; за пределами ±2 они необычны, а за пределами ±3 редки в модели нормального распределения.

Нужна ли таблица нормального распределения?

Нет. Калькулятор вычисляет площади нормального распределения напрямую, поэтому значения получаются точнее, чем по печатной таблице.

Почему калькулятор не принимает стандартное отклонение 0?

Потому что деление на ноль не определено, а стандартное отклонение 0 означает, что все значения равны среднему: стандартизация в этом случае не имеет смысла.

Попробуйте калькулятор z-оценки

Введите значение, среднее и стандартное отклонение или процентиль и получите z-оценку и площадь с объяснением каждого шага.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель