Калькулятор комбинаторики — размещения и сочетания с решением

О калькуляторе размещений и сочетаний

Многие задачи на подсчёт сводятся к одному вопросу: важен ли порядок выбранных элементов? Расставить бегунов на пьедестал — это размещение, ведь «золото — серебро — бронза» не то же самое, что «бронза — серебро — золото». Выбрать трёх человек в комиссию — это сочетание, ведь те же трое в любом порядке образуют ту же комиссию.

Калькулятор охватывает четыре стандартных случая: размещения и сочетания без повторений, размещения с повторениями (например, цифровые ПИН-коды) и сочетания с повторениями (например, выбор шариков мороженого из нескольких вкусов). Он работает с точными целыми числами: даже огромные количества, такие как число покерных раздач, выводятся полностью, а не округлёнными.

Что такое размещения и сочетания?

Размещение — это упорядоченный список из $r$ элементов, выбранных из $n$ различных элементов. Их число равно $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ — произведению первых $r$ множителей $n!$ . Сочетание — это выбор без учёта порядка, и их число равно $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Они связаны между собой: каждое сочетание из $r$ элементов можно упорядочить $r!$ способами, поэтому $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . Калькулятор использует это тождество, чтобы проверять каждый результат для размещений и сочетаний.

Как пользоваться калькулятором размещений и сочетаний

Выберите, что нужно посчитать: сочетания, размещения, размещения с повторениями или сочетания с повторениями.
Введите общее число элементов n.
Введите число выбираемых элементов r.
Нажмите «Вычислить».
Посмотрите результат, использованную формулу и шаги сокращения.

Формулы

Размещения

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Сочетания

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Размещения с повторениями

n^r

Сочетания с повторениями

\binom{n + r - 1}{r}

Разобранный пример: C(10, 3)

В примере находится $C(10, 3)$ — число способов выбрать 3 элемента из 10, когда порядок не важен. Сначала считаем упорядоченные выборки: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Каждая тройка встречается в этом списке $3! = 6$ раз, по одному на каждый возможный порядок, поэтому $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . Проверка подтверждает: $120 \times 6 = 720$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

120

Как мы поняли вашу задачу

Сочетания C(n, r) (порядок не важен)

Пошаговое решение

Применяем формулу числа сочетаний
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Делим число размещений на r!, потому что порядок не важен
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Использованные формулы

Сочетания C(n, r) (порядок не важен)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Число способов выбрать 3 из 10 элементов без учёта порядка: 120.

Проверка

Проверка: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Подробное объяснение

Почему факториалы сокращаются

Кажется, что для $\frac{n!}{(n-r)!}$ нужны огромные числа, но большинство множителей сокращается. Для $P(8, 3)$ остаётся только $8 \times 7 \times 6 = 336$ : восемь вариантов для первого места, семь для второго и шесть для третьего. Калькулятор показывает это сокращение, а не вычисляет полные факториалы.

Сочетания не различают $r!$ порядков каждой выборки. Поэтому $C(n, r)$ всегда не больше $P(n, r)$ , и поэтому $C(n, r) = C(n, n - r)$ : выбрать $r$ элементов, которые вы берёте с собой, — то же самое, что выбрать $n - r$ , которые вы оставляете.

Подсчёт с повторениями

Если элементы могут повторяться и порядок важен, на каждую из $r$ позиций есть $n$ вариантов, что даёт $n^r$ . У четырёхзначного цифрового ПИН-кода $10^4 = 10{,}000$ вариантов.

Если элементы могут повторяться, но порядок не важен, метод шаров и перегородок даёт $\binom{n + r - 1}{r}$ . Выбрать 4 шарика мороженого из 3 вкусов с повторениями можно $\binom{6}{4} = 15$ способами. В этом режиме $r$ может быть больше $n$ .

Большие числа и крайние случаи

Число различных покерных раздач из пяти карт равно $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ , и благодаря целочисленной арифметике калькулятор хранит такие результаты точно. По соглашению $C(n, 0) = 1$ , потому что существует ровно один способ ничего не выбрать.

Без повторений нельзя выбрать больше элементов, чем есть. Если вы запросите $C(3, 5)$ , понятное сообщение предложит режим с повторениями или меньшее $r$ , а не покажет бессмысленный ноль.

Сочетания и треугольник Паскаля

Значения $C(n, r)$ образуют треугольник Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух чисел прямо над ним: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . У этого соотношения есть комбинаторное объяснение. Зафиксируйте один элемент; каждая выборка либо содержит его, и тогда осталось выбрать $r - 1$ элементов из $n - 1$ оставшихся, либо не содержит, и тогда все $r$ элементов выбираются из $n - 1$ оставшихся.

Те же числа служат коэффициентами в разложении бинома $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ , отсюда и название — биномиальные коэффициенты. Сумма целой строки равна $2^n$ — общему числу подмножеств множества из $n$ элементов, ведь каждый элемент либо входит в подмножество, либо нет.

Типичные ошибки

Использовать размещения, когда порядок не важен, и тем самым завышать ответ в $r!$ раз.
Использовать сочетания для упорядоченных списков, таких как ПИН-коды, рейтинги или рассадка.
Забывать, что повторения полностью меняют формулу.
Вычислять полные факториалы вручную вместо сокращения, что провоцирует ошибки.
Брать r больше n, когда элементы не могут повторяться.

Советы

Спросите себя: «Получу ли я другой результат, если поменяю местами два выбранных элемента?» Если да, это размещения.
Используйте $C(n, r) = C(n, n - r)$ , чтобы упростить вычисления вручную.
Разбивайте сложные задачи на этапы и перемножайте количества вариантов на каждом этапе (правило произведения).
Разделите количество на общее число возможных исходов, чтобы превратить его в вероятность.
Используйте биномиальный режим калькулятора вероятностей, если нужна вероятность k успехов, а не просто количество.
Сначала прикиньте: если число сочетаний оказалось больше числа соответствующих размещений, что-то не так.

Частые вопросы

Чем размещение отличается от сочетания?

Размещения считают упорядоченные списки, а сочетания — выборки без учёта порядка. Выбор 3 элементов из 10 даёт 720 размещений, но только 120 сочетаний.

Как найти число сочетаний?

Используйте n! ÷ (r!(n − r)!). На практике перемножьте первые r множителей n! и разделите на r!. Для C(10, 3) получается 720 ÷ 6 = 120.

Как найти число размещений?

Перемножьте первые r множителей n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Сколько существует покерных раздач из пяти карт?

C(52, 5) = 2 598 960, потому что порядок, в котором вы получаете карты, не важен.

Что значит «с повторениями»?

Что каждый элемент можно выбрать больше одного раза, как цифры в цифровом ПИН-коде. Упорядоченных выборок с повторениями nʳ, неупорядоченных — C(n + r − 1, r).

Почему C(n, 0) равно 1?

Потому что существует ровно один способ не выбрать ни одного элемента — пустая выборка. То же рассуждение даёт 0! = 1.

Может ли r быть больше n?

Только если разрешены повторения. Без повторений калькулятор объяснит, что нельзя выбрать больше элементов, чем есть.

Попробуйте калькулятор размещений и сочетаний

Введите n и r и получите точное количество, формулу и сокращение факториалов шаг за шагом.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор размещений и сочетаний