Калькулятор вероятностей

О калькуляторе вероятностей

Вероятность показывает, насколько возможно событие, по шкале от 0 (невозможное) до 1 (достоверное). Большинство задач из учебников следуют нескольким схемам: подсчитать благоприятные исходы, объединить независимые события, учесть уже известную информацию и посчитать успехи в повторных испытаниях. Этот калькулятор справляется со всеми четырьмя.

Данные можно вводить целыми количествами, десятичными дробями вроде 0,25, обыкновенными дробями вроде 1/4 или процентами вроде 25 %. Когда это возможно, ответ выводится точной дробью вместе с десятичным значением и процентом, чтобы вы могли записать его в той форме, которую требует учитель или учебник. Каждый режим также показывает противоположные или связанные вероятности, о которых задачи обычно спрашивают дальше.

Что такое вероятность?

Если все исходы случайного опыта равновозможны, вероятность события $A$ равна числу благоприятных для $A$ исходов, делённому на число всех исходов. При броске двух игральных костей есть 36 равновозможных исходов, и в шести из них сумма очков равна 7, поэтому $P(\text{сумма} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

Вероятности подчиняются нескольким правилам: они лежат между 0 и 1, вероятность того, что $A$ не произойдёт, равна $1 - P(A)$ , а вероятность того, что произойдёт $A$ или $B$ , равна $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Условная вероятность и биномиальное распределение строятся непосредственно на этих правилах.

Как пользоваться калькулятором вероятностей

Выберите тип задачи: одно событие, два независимых события, условная вероятность или биномиальное распределение.
Для одного события введите число благоприятных исходов и общее число равновозможных исходов.
Для независимых событий введите P(A) и P(B); для условной вероятности — P(A и B) и P(B).
Для биномиальной задачи введите число испытаний n, вероятность успеха p и число успехов k, а также укажите, нужно ли ровно, не более, менее, не менее или более k.
Нажмите «Вычислить вероятность» и посмотрите точный ответ, процент и обосновывающие шаги.

Формулы

Классическое определение вероятности

P(A) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все исходы}}

Независимые события

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Условная вероятность

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Формула Бернулли

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Разобранный пример: Два кубика: P(сумма 7) = 6/36

В примере ищется вероятность того, что сумма очков на двух правильных игральных костях равна 7. Благоприятных исходов 6 — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) и (6,1) — из 36 возможных, поэтому $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , то есть примерно 16,67 %.

Калькулятор также находит вероятность противоположного события, $1 - \frac16 = \frac56$ , то есть вероятность любой другой суммы, и шансы за событие, $6 : 30$ , которые сравнивают благоприятные исходы с неблагоприятными, а не со всеми.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

Как мы поняли вашу задачу

Одно событие (благоприятных ÷ всего)

Пошаговое решение

Делим число благоприятных исходов на общее число равновозможных исходов
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Противоположное событие: событие не происходит
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Шансы в пользу события
$6 : 30$

Использованные формулы

Классическая вероятность
$P(A) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все исходы}}$
Противоположное событие
$P(A') = 1 - P(A)$

Событие происходит в 6 из 36 равновозможных исходов, поэтому его вероятность равна 16.666667%; не происходит оно с вероятностью 83.333333%.

Подробное объяснение

Независимые события и правило сложения

Два события независимы, если знание о том, что одно произошло, не меняет вероятность другого, как при двух отдельных бросках монеты. Тогда вероятность того, что произойдут оба, равна произведению. При $P(A) = \frac12$ и $P(B) = 0.3$ оба события происходят с вероятностью $0.15$ , хотя бы одно — с вероятностью $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ , ровно одно — $0.65 - 0.15 = 0.5$ , а ни одного — $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

Калькулятор проверяет, что $P(A \cup B) + P(\text{ни одного}) = 1$ , — полезный контроль, поскольку эти два случая вместе охватывают все исходы.

Условная вероятность

Условная вероятность сужает пространство исходов до тех, в которых произошло $B$ , и спрашивает, как часто в этом меньшем пространстве происходит и $A$ . Если 12 % покупателей берут телефон и чехол, а 40 % — телефон, то $P(\text{чехол} \mid \text{телефон}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ : 30 % купивших телефон берут и чехол.

Вероятность пересечения никогда не может быть больше $P(B)$ , а $P(B)$ должна быть строго положительной; в обоих случаях калькулятор сообщит об ошибке. Помните, что $P(A \mid B)$ и $P(B \mid A)$ обычно различаются и что формула Байеса — инструмент для перехода от одной к другой.

Формула Бернулли

Схема Бернулли — это $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха одна и та же, $p$ . Вероятность ровно $k$ успехов равна числу способов их расположить, $\binom{n}{k}$ , умноженному на вероятность любого одного такого расположения. Для случаев «не более», «не менее», «менее» или «более» $k$ калькулятор складывает соответствующие слагаемые и указывает, какие именно он сложил.

Например, вероятность выбросить орла не менее 8 раз за 10 бросков правильной монеты равна $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . Калькулятор также приводит математическое ожидание $np$ и стандартное отклонение $\sqrt{np(1-p)}$ распределения.

Типичные ошибки

Перемножать вероятности зависимых событий.
Складывать $P(A)$ и $P(B)$ , не вычитая вероятность пересечения, из-за чего сумма может превысить 1.
Путать $P(A \mid B)$ с $P(B \mid A)$ .
Считать исходы, которые не равновозможны, например считать суммы очков от 2 до 12 на двух костях одинаково вероятными.
Путать шансы с вероятностью: шансы 1 : 5 соответствуют вероятности $\frac16$ .

Советы

В вопросах вида «хотя бы одно» используйте противоположное событие: $1 - P(\text{ни одного})$ обычно быстрее.
В небольших задачах перед вычислениями выпишите пространство исходов или нарисуйте дерево вероятностей.
Записывайте вероятности дробями, чтобы получить точный ответ.
Проверяйте, что все ответы лежат между 0 и 1.
Используйте калькулятор размещений и сочетаний, чтобы подсчитать исходы перед делением.

Частые вопросы

Как найти вероятность события?

Разделите число благоприятных исходов на общее число равновозможных исходов. Для суммы 7 на двух костях получается 6 ÷ 36 = 1/6.

Как найти вероятность того, что произойдут два независимых события?

Перемножьте их вероятности. При P(A) = 0,5 и P(B) = 0,3 оба события происходят с вероятностью 0,15.

Что такое условная вероятность?

Вероятность события A при условии, что произошло B: P(A | B) = P(A и B) ÷ P(B). Рассматриваются только те исходы, в которых происходит B.

Когда использовать биномиальный режим?

Когда в случайном опыте фиксированное число независимых испытаний, у каждого два возможных исхода и одна и та же вероятность успеха, а вам нужна вероятность определённого числа успехов.

Можно ли вводить проценты или дроби?

Да. Вероятности можно задавать десятичной дробью (0,25), обыкновенной дробью (1/4) или процентом (25 %). В режиме одного события количества должны быть целыми числами.

Чем шансы отличаются от вероятности?

Вероятность сравнивает благоприятные исходы со всеми исходами, а шансы — благоприятные с неблагоприятными. Вероятности 1/6 соответствуют шансы за событие 1 : 5.

Как найти вероятность «не менее» в биномиальной задаче?

Выберите «P(X ≥ k) не менее k». Калькулятор сложит вероятности от k до n и покажет, какие слагаемые он сложил.

Попробуйте калькулятор вероятностей

Выберите тип задачи и получите точную вероятность, процент и объяснение каждого шага.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

О калькуляторе вероятностей

Что такое вероятность?

Как пользоваться калькулятором вероятностей

Формулы

Классическое определение вероятности

Независимые события

Условная вероятность

Формула Бернулли

Разобранный пример: Два кубика: P(сумма 7) = 6/36

Ответ

Как мы поняли вашу задачу

Пошаговое решение

Использованные формулы

Подробное объяснение

Независимые события и правило сложения

Условная вероятность

Формула Бернулли

Типичные ошибки

Советы

Частые вопросы

Как найти вероятность события?

Как найти вероятность того, что произойдут два независимых события?

Что такое условная вероятность?

Когда использовать биномиальный режим?

Можно ли вводить проценты или дроби?

Чем шансы отличаются от вероятности?

Как найти вероятность «не менее» в биномиальной задаче?

Попробуйте калькулятор вероятностей

Другие математические калькуляторы